目录

伽罗瓦理论（1）

伽罗瓦理论（2）

伽罗瓦理论（4）

伽罗瓦基本定理

有了前面的刻画，我们就可以进行进一步的探索。伽罗瓦基本定理，将伽罗瓦扩张的中间域和伽罗瓦群的子群联系起来，对伽罗瓦扩张进行分解。为什么是用群，而不是多项式呢？似乎多项式更加合适，但是多项式不具有不变性。

定理（伽罗瓦基本定理）设E⊃FE\supset FE⊃F为伽罗瓦扩张，G=Gal(E/F)G=Gal(E/F)G=Gal(E/F)为伽罗瓦群，则子群和中间域通过映射H↦EHH\mapsto E^{H}H↦EH和M↦Gal(E/M)M\mapsto Gal(E/M)M↦Gal(E/M)建立起一一对应。而且这个对应具有以下性质：

集合上反包含：H1⊃H2⇒EH1⊂EH2H_1\supset H_2\Rightarrow E^{H_1}\subset E^{H_2}H1​⊃H2​⇒EH1​⊂EH2​保持数值不变量：(H1:H2)=[EH2:EH1](H_1: H_2)=[E^{H_2}: E^{H_1}](H1​:H2​)=[EH2​:EH1​]共轭对应：σHσ−1↦σEH\sigma H \sigma^{-1}\mapsto \sigma E^{H}σHσ−1↦σEH正规对应：HHH为正规子群⇔EH\Leftrightarrow E^H⇔EH是正规扩张（因而是伽罗瓦扩张），此时有G/H≃Gal(EH/F)G/H\simeq Gal(E^H/F)G/H≃Gal(EH/F)

由此，如果有群的正规列：{1}=Hn⊂⋯⊂H2⊂H1⊂H0=G\{1\}=H_n\subset \cdots\subset H_2\subset H_1\subset H_0=G{1}=Hn​⊂⋯⊂H2​⊂H1​⊂H0​=G

则可以得到域的分解：

E⊃⋯⊃EH2⊃EH1⊃EG=FE\supset\cdots\supset E^{H_2}\supset E^{H_1}\supset E^{G}=FE⊃⋯⊃EH2​⊃EH1​⊃EG=F

要是群的分解粒度足够细，则域的分解粒度也会很细，当细到单扩张的时候，就比较容易理解了。更有意义的是，通过这种对应，可以将域列的存在转化为群列的存在，从而达到整体的刻画。

证明H=Gal(E/EH)H=Gal(E/E^H)H=Gal(E/EH)：设I=Gal(E/EH),I=Gal(E/E^H),I=Gal(E/EH),则 H⊂IH\subset IH⊂I。因为E/EHE/E^HE/EH是伽罗瓦扩张，所以由分裂域刻画有∣I∣=[E:EH]|I|=[E:E^H]∣I∣=[E:EH],于是根据伽罗瓦理论（2）中的引理有∣I∣≤∣H∣|I|\leq |H|∣I∣≤∣H∣，因此H=I.H=I.H=I.

M=EGal(E/M)M=E^{Gal(E/M)}M=EGal(E/M)：这个只要说明E/ME/ME/M是伽罗瓦扩张，这个通过分裂域刻画就行。

1是显然的。2根据分裂域的等式也是显然。3要证明Gal(E/σ(EH))=σHσ−1Gal(E/\sigma(E^H))=\sigma H\sigma^{-1}Gal(E/σ(EH))=σHσ−1，首先有⊃\supset⊃关系，然后考虑阶数，因为E=σ(E)E=\sigma(E)E=σ(E)，容易知道左边群的阶和Gal(E/EH)Gal(E/E^H)Gal(E/EH)的阶相等，右边群的阶自然和HHH的阶相等。

4根据3来看。看⇒\Rightarrow⇒部分，由3知道σ(EH)⊂EH\sigma(E^H)\subset E^Hσ(EH)⊂EH，再直接根据伽罗瓦理论（2）中的引理得到任何EHE^HEH中的元素都是正规的。看⇐\Leftarrow⇐部分，σ∈G\sigma\in Gσ∈G 。每一个EHE^HEH同构都可以扩充为EEE同构，扩充方式有∣H∣|H|∣H∣种，从而由Gal(EH/F)Gal(E^H/F)Gal(EH/F)扩充出来的同构总共有∣Gal(EH/F)∣∣H∣=[EH:F][E:EH]=[E:F]=∣G∣|Gal(E^H/F)||H|=[E^H:F][E:E^H]=[E:F]=|G|∣Gal(EH/F)∣∣H∣=[EH:F][E:EH]=[E:F]=∣G∣个，则从GGG到Gal(EH/F)Gal(E^H/F)Gal(EH/F)有一个限制满同态，其核就是HHH. 从而每个σ\sigmaσ都可以限制到EHE^HEH上，因而有σ(EH)⊂EH\sigma(E^H)\subset E^Hσ(EH)⊂EH，再根据3就行了。

总结：可以看到证明到最后，都归约到最基本的线性代数和多项式理论上面了。

可解性定理

定理（可解性）设域FFF的特征为0，则f∈F[x]−Ff\in F[x]-Ff∈F[x]−F根式可解当且仅当fff的分裂域对应的伽罗瓦群可解。

对这个定理的证明自然分为两个部分。先看必要性。如果fff根式可解，则有域塔

F=F0⊂F1⊂⋯⊂FmF=F_0\subset F_1\subset \cdots \subset F_mF=F0​⊂F1​⊂⋯⊂Fm​

使得：

fff在FmF_mFm​中分裂Fi=Fi−1[αi],αiri∈Fi−1F_i=F_{i-1}[\alpha_i],\alpha_i^{r_i}\in F_{i-1}Fi​=Fi−1​[αi​],αiri​​∈Fi−1​

第一点保证根都在FmF_mFm​中，第二点保证根都可以表示成系数中元素的有限次根式嵌套。

令N=∏iriN=\prod_ir_iN=∏i​ri​，ζ\zetaζ为NNN次本原单位根，于是我们有域塔

F⊂F′=F[ζ]⊂F1′=F′[α1]⊂⋯⊂Fm′=Fm−1′[αm]F\subset F^{\prime}=F[\zeta]\subset F_1^{\prime}=F^{\prime}[\alpha_1]\subset \cdots \subset F_m^{\prime}=F_{m-1}^{\prime}[\alpha_{m}]F⊂F′=F[ζ]⊂F1′​=F′[α1​]⊂⋯⊂Fm′​=Fm−1′​[αm​]

设E=F[x1,⋯,xn]⊂Fm′E=F[x_1,\cdots,x_n]\subset F_m^{\prime}E=F[x1​,⋯,xn​]⊂Fm′​为分裂域，则伽罗瓦群为G=Gal(E/F)G=Gal(E/F)G=Gal(E/F)。我们要证明这个群是可解的。但是显然这并不友好，域塔是关于Fm′F_m^{\prime}Fm′​的。选择Fm′F_m^{\prime}Fm′​作为切入点，构造FFF的一个包含Fm′F_m^{\prime}Fm′​的伽罗瓦扩张KKK，这样GGG是H=Gal(K/F)H=Gal(K/F)H=Gal(K/F)的商群，只用证明HHH可解就行了。由于特征为0，极小多项式肯定是可分的，所以将ζ,αi,i=1,2,⋯,m\zeta,\alpha_i,i=1,2,\cdots,mζ,αi​,i=1,2,⋯,m的极小多项式去掉重复的相乘后，还是可分的，这个多项式的分裂域作为KKK就行。

这个KKK实际上就是FFF添加了全部ζ,αi\zeta,\alpha_iζ,αi​和它们的共轭后生成的。设σ∈Gal(K/F)={σ1,σ2,⋯,σl}\sigma\in Gal(K/F)=\{\sigma_1,\sigma_2,\cdots,\sigma_l\}σ∈Gal(K/F)={σ1​,σ2​,⋯,σl​}，则(σ(αi))ri=σ(αiri)∈σ(Fi−1′)=F[σ(ζ),⋯,σ(αi−1)](\sigma(\alpha_i))^{r_i}=\sigma(\alpha_i^{r_i})\in \sigma(F_{i-1}^{\prime})=F[\sigma(\zeta),\cdots,\sigma(\alpha_{i-1})](σ(αi​))ri​=σ(αiri​​)∈σ(Fi−1′​)=F[σ(ζ),⋯,σ(αi−1​)]

我们依次在FFF中添加以下元素来构建域塔：

ζ,σ1(ζ),⋯,σl(ζ)；α1,σ1(α1),⋯,σl(α1)；αm,σ1(αm),⋯,σl(αm)\zeta, \sigma_1(\zeta),\cdots,\sigma_l(\zeta)；\alpha_1,\sigma_1(\alpha_1),\cdots,\sigma_l(\alpha_1)；\alpha_m,\sigma_1(\alpha_m),\cdots,\sigma_l(\alpha_m)ζ,σ1​(ζ),⋯,σl​(ζ)；α1​,σ1​(α1​),⋯,σl​(α1​)；αm​,σ1​(αm​),⋯,σl​(αm​)

令得到的域塔为

F=E0⊂E1⊂⋯⊂Et=KF=E_0\subset E_1\subset\cdots\subset E_t=KF=E0​⊂E1​⊂⋯⊂Et​=K

则相邻的扩张都是abel扩张（伽罗瓦群为abel群的伽罗瓦扩张，这个地方需要补充说明），从而对应的群正规列

G=Gal(K/E0)⊃Gal(K/E1)⊃⋯⊃{1}G=Gal(K/E_0)\supset Gal(K/E_1)\supset \cdots \supset \{1\}G=Gal(K/E0​)⊃Gal(K/E1​)⊃⋯⊃{1}

是可解的。

再看充分性。EEE为分裂域，GGG为伽罗瓦群。首先还是要把基域扩大到包含n=∣G∣n=|G|n=∣G∣次本原单位根（在这之前需要说明GGG是有限群）。设ζ\zetaζ为nnn次本原单位根，F′=F[ζ]F^{\prime}=F[\zeta]F′=F[ζ]. 于是G′=Gal(E/F′)<GG^{\prime}=Gal(E/F^{\prime})<GG′=Gal(E/F′)<G也是可解群。于是有群正规列：

{1}⊂G1⊂G2⊂⋯⊂Gm=G′\{1\}\subset G_1\subset G_2\subset \cdots \subset G_m=G^{\prime}{1}⊂G1​⊂G2​⊂⋯⊂Gm​=G′

使得Gk/Gk−1G_k/G_{k-1}Gk​/Gk−1​是有限循环群。于是，对应有域塔：

E=F0⊃F1⊃F2⋯⊃Fm=F′E=F_{0}\supset F_{1}\supset F_{2} \cdots \supset F_{m}= F^{\prime}E=F0​⊃F1​⊃F2​⋯⊃Fm​=F′

而且有Fk−1/FkF_{k-1}/F_{k}Fk−1​/Fk​是Galois扩张，对应的Galois群为

Gal(Fk−1/Fk)≃Gk/Gk−1Gal(F_{k-1}/F_k)\simeq G_k/G_{k-1}Gal(Fk−1​/Fk​)≃Gk​/Gk−1​，是一个有限循环群。我们只要证明此时一定有某个αk∈Fk−1\alpha_k\in F_{k-1}αk​∈Fk−1​使得Fk−1=Fk[αk]，αkrk∈FkF_{k-1}=F_k[\alpha_k]，\alpha_k^{r_k}\in F_kFk−1​=Fk​[αk​]，αkrk​​∈Fk​.另外再把F′=F[ζ]F^{\prime}=F[\zeta]F′=F[ζ]考虑进来，就可以完成整个证明。

所以接下来的工作，就是研究循环扩张和分圆扩张。

分圆扩张

设EEE的特征为p>0,n=peqp>0,n=p^eqp>0,n=peq为ppp的倍数，xn=1x^n=1xn=1在EEE上分裂，根集记为N(n)N(n)N(n)。yp=1⇒(y−1)p=0⇒y=1y^p=1\Rightarrow (y-1)^p=0\Rightarrow y=1yp=1⇒(y−1)p=0⇒y=1。从而xq=1x^q=1xq=1。若q=rsq=rsq=rs为两个不同素数的乘积，则qqq阶元的个数

N(q)−N(r)−N(s)+N(1)=rs−r−s+1=(r−1)(s−1)>0\begin{aligned} &N(q)-N(r)-N(s)+N(1)\\ =&rs-r-s+1\\ =&(r-1)(s-1)>0 \end{aligned} ==​N(q)−N(r)−N(s)+N(1)rs−r−s+1(r−1)(s−1)>0​

若q=r2q=r^2q=r2，则qqq阶元的个数

N(q)−N(r)=r2−r=r(r−1)>0N(q)-N(r)=r^2-r=r(r-1)>0N(q)−N(r)=r2−r=r(r−1)>0

若q=r2sq=r^2sq=r2s，则qqq阶元的个数

N(q)−N(r2)−N(rs)+N(r)=q−qs−qr+qrs=q(1−1s)(1−1r)>0\begin{aligned} &N(q)-N(r^2)-N(rs)+N(r)\\ =&q-\frac{q}{s}-\frac{q}{r}+\frac{q}{rs}\\ =&q(1-\frac{1}{s})(1-\frac{1}{r})>0 \end{aligned} ==​N(q)−N(r2)−N(rs)+N(r)q−sq​−rq​+rsq​q(1−s1​)(1−r1​)>0​

若q=r1e1r2e2q=r_1^{e_1}r_2^{e_2}q=r1e1​​r2e2​​，则qqq阶元的个数

N(q)−N(qr1)−N(qr2)+N(qr1r2)=q−qr1−qr2+qr1r2=q(1−1r1)(1−1r2)>0\begin{aligned} &N(q)-N(\frac{q}{r_1})-N(\frac{q}{r_2})+N(\frac{q}{r_1r_2})\\ =&q-\frac{q}{r_1}-\frac{q}{r_2}+\frac{q}{r_1r_2}\\ =&q(1-\frac{1}{r_1})(1-\frac{1}{r_2})>0 \end{aligned} ==​N(q)−N(r1​q​)−N(r2​q​)+N(r1​r2​q​)q−r1​q​−r2​q​+r1​r2​q​q(1−r1​1​)(1−r2​1​)>0​

若q=r1e1r2e2⋯rmemq=r_1^{e_1}r_2^{e_2}\cdots r_m^{e_m}q=r1e1​​r2e2​​⋯rmem​​，则qqq阶元的个数

N(q)−∑iN(qri)+∑i,jN(qrirj)−⋯+(−1)mN(qr1r2⋯rm)=q−∑iqri+∑i,jqrirj−⋯+(−1)mqr1r2⋯rm=q(1−1r1)(1−1r2)⋯(1−1rm)>0\begin{aligned} &N(q)-\sum_iN(\frac{q}{r_i})+\sum_{i,j}N(\frac{q}{r_ir_j})-\cdots+(-1)^mN(\frac{q}{r_1r_2\cdots r_m})\\ =&q-\sum_i\frac{q}{r_i}+\sum_{i,j}\frac{q}{r_ir_j}-\cdots+(-1)^m\frac{q}{r_1r_2\cdots r_m}\\ =&q(1-\frac{1}{r_1})(1-\frac{1}{r_2})\cdots (1-\frac{1}{r_m})>0 \end{aligned} ==​N(q)−i∑​N(ri​q​)+i,j∑​N(ri​rj​q​)−⋯+(−1)mN(r1​r2​⋯rm​q​)q−i∑​ri​q​+i,j∑​ri​rj​q​−⋯+(−1)mr1​r2​⋯rm​q​q(1−r1​1​)(1−r2​1​)⋯(1−rm​1​)>0​

以上证明了

引理n>0n>0n>0次本原单位根存在当且仅当考虑的系数域FFF的特征为0或者为p∤np \not | np​∣n.

设ζ\zetaζ为nnn次本原单位根，F[ζ]/FF[\zeta]/FF[ζ]/F称为分圆扩张。这部分的主要结果就是说明分圆扩张的Galois群是Abel群。

定理设FFF特征为0或者特征ppp不整除nnn，则对分圆扩张F[ζ]/FF[\zeta]/FF[ζ]/F有单射

Gal(F[ζ]/F)↪(Z/nZ)×Gal(F[\zeta]/F)\hookrightarrow (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times}Gal(F[ζ]/F)↪(Z/nZ)×

证明σ∈Gal(F[ζ]/F)\sigma\in Gal(F[\zeta]/F)σ∈Gal(F[ζ]/F)由ζ↦ζi,i∈(Z/nZ)×\zeta\mapsto \zeta^i, i\in (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times}ζ↦ζi,i∈(Z/nZ)×唯一确定，这样就有了一个映射Gal(F[ζ]/F)→(Z/nZ)×Gal(F[\zeta]/F)\rightarrow (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times}Gal(F[ζ]/F)→(Z/nZ)×。

由于στ(ζ)=(ζj)i=ζij\sigma \tau(\zeta)=(\zeta^{j})^{i}=\zeta^{ij}στ(ζ)=(ζj)i=ζij，此映射是群同态。i=1i=1i=1必然有σ=id\sigma=idσ=id，从而是单同态。

循环扩张

若E/FE/FE/F的Galois群为循环群，则称为循环扩张。循环扩张的重要性质是，其扩张是基本的根式扩张。

设FFF包含n>1n>1n>1次本原单位根ζ\zetaζ，αn=b∈F\alpha^n=b\in Fαn=b∈F且nnn为满足此性质的最小正整数。

σ∈Gal(F[α]/F)⇒σ(α)=ζiα,i∈Z/nZ\sigma\in Gal(F[\alpha]/F)\Rightarrow \sigma(\alpha)=\zeta^i\alpha,i\in\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}σ∈Gal(F[α]/F)⇒σ(α)=ζiα,i∈Z/nZ。这样就确定了一个映射。对于两个σ,τ∈Gal(F[α]/F)⇒στ(α)=ζj(ζiα)=ζi+jα\sigma,\tau\in Gal(F[\alpha]/F)\Rightarrow \sigma\tau(\alpha)=\zeta^j(\zeta^i\alpha)=\zeta^{i+j}\alphaσ,τ∈Gal(F[α]/F)⇒στ(α)=ζj(ζiα)=ζi+jα，于是这个映射是群同态。这个同态还是单的。设同态像为dZ/nZd\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}dZ/nZ，则σ(αnd)=αnd,σ∈Gal(F[α]/F)\sigma(\alpha^{\frac{n}{d}})=\alpha^{\frac{n}{d}},\sigma\in Gal(F[\alpha]/F)σ(αdn​)=αdn​,σ∈Gal(F[α]/F)。由于

xn−b∈F[x]x^n-b\in F[x]xn−b∈F[x] 是可分多项式，F[α]F[\alpha]F[α]是可分多项式的分裂域，所以是Galois扩张，αnd∈F\alpha^{\frac{n}{d}}\in Fαdn​∈F，这与nnn的最小性矛盾。因此此同态是同构。

反过来，如果Galois扩张Gal(E/F)≃Z/nZGal(E/F)\simeq \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}Gal(E/F)≃Z/nZ，生成元为σ\sigmaσ。群特征σ:E×→∼E×\sigma:E^{\times}\xrightarrow{\sim}E^{\times}σ:E×∼​E×，且{id,σ,σ2,⋯,σn−1}互不相同，\{id, \sigma,\sigma^2,\cdots,\sigma^{n-1}\}互不相同，{id,σ,σ2,⋯,σn−1}互不相同，由Dedekinds定理，其非零线性组合τ=∑i=0n−1ζiσi\tau=\sum_{i=0}^{n-1}\zeta^{i}\sigma^iτ=∑i=0n−1​ζiσi不为0，于是存在γ∈E×\gamma\in E^{\times}γ∈E×使得α=τ(γ)≠0\alpha=\tau(\gamma)\neq 0α=τ(γ)​=0。又

σ(α)=∑i=0n−1ζiσi+1(γ)=ζ−1τ(γ)=ζ−1α\sigma(\alpha)=\sum_{i=0}^{n-1}\zeta^{i}\sigma^{i+1}(\gamma)=\zeta^{-1}\tau(\gamma)=\zeta^{-1}\alphaσ(α)=i=0∑n−1​ζiσi+1(γ)=ζ−1τ(γ)=ζ−1α

从而σ(αn)=αn\sigma(\alpha^n)=\alpha^nσ(αn)=αn，αn∈F\alpha^n\in Fαn∈F。因为nnn是满足此性质的最小正整数，由前证，知道Gal(F[α]/F)≃Z/nZGal(F[\alpha]/F)\simeq \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}Gal(F[α]/F)≃Z/nZ，从而E=F[α]E=F[\alpha]E=F[α]。

以上证明了

定理设FFF包含n>1n>1n>1次本原单位根ζ\zetaζ。E/FE/FE/F为Galois扩张且Gal(E/F)≃Z/nZGal(E/F)\simeq \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}Gal(E/F)≃Z/nZ（循环扩张）当且仅当E=F[α],αn∈FE=F[\alpha],\alpha^n\in FE=F[α],αn∈F且nnn为满足此条件的最小正整数。