伽罗瓦理论笔记暂记1
伽罗瓦理论笔记暂记2
方程根式解笔记3
方程根式解笔记4
方程f(x)=0在F上的群
每一个多项式方程f(x)=0,都可以看作某个系数域F上的多项式方程,F是复数域C的子域。
n次方程f(x)=0在复数域C中有n个根{a1,……,an},不妨设这里没有重根。
这个根集到自身的置换最多有n!个,他们构成一个群,同构于Sn.
但是这些根往往不是独立的,或者说根之间是有代数关系的。
这n!个置换中保持根之间在F中的全部关系(粗略地说,这里的“关系”,是指系数在F中的上述n个根的多项式等式关系)都不变的置换的个数一般少于n!个,他们又构成上述那个群的一个子群,同构于Sn的一个子群,称为“方程f(x)=0在F上的群”.
每一个多项式方程f(x)=0,都可以看作某个系数域F上的多项式方程,F是复数域C的子域。
n次方程f(x)=0在复数域C中有n个根{a1,……,an},不妨设这里没有重根。
这个根集到自身的置换最多有n!个,他们构成一个群,同构于Sn.
但是这些根往往不是独立的,或者说根之间是有代数关系的。
这n!个置换中保持根之间在F中的全部关系(粗略地说,这里的“关系”,是指系数在F中的上述n个根的多项式等式关系)都不变的置换的个数一般少于n!个,他们又构成上述那个群的一个子群,同构于Sn的一个子群,称为“方程f(x)=0在F上的群”.
f(x)=0在F上,f(x)在F上有分裂域K,这个群就是: Gal(K/F) K的F自同构组成的群(在F上恒等)
一个特殊情况:
K=F ,也就是f(x)的根都在F上(比如有理系数的多项式的根全都是有理数) Gal(K/F)=identical
F<E<K Gal(K/F)=>Gal(K/E)
f(x)=0既可以看作F上的多项式方程,又可以看作是F的某个扩域F1上的多项式方程,F1仍是C的子域。当F扩大成F1时,根之间在方程系数域中的全部关系也就增加了,保持这些全部关系都不变的置换就减少了,从而f(x)=0在系数域上的群就缩小了。当这种群缩成幺群时。即只有恒等置换才能保持根之间在F中的全部关系都不变,就表明方程的所有根都属于系数域了。
f(x)=0既可以看作F上的多项式方程,又可以看作是F的某个扩域F1上的多项式方程,F1仍是C的子域。当F扩大成F1时,根之间在方程系数域中的全部关系也就增加了,保持这些全部关系都不变的置换就减少了,从而f(x)=0在系数域上的群就缩小了。当这种群缩成幺群时。即只有恒等置换才能保持根之间在F中的全部关系都不变,就表明方程的所有根都属于系数域了。
方程的系数域的扩大的过程可以多次重复进行,如果每次扩大时添加的都是原系数域的根式,则扩域中的元素都能用原域中的元素的加减乘除和根式表示出,如果这种扩大系数域的方式能使方程f(x)在扩域上的群称为幺群,那么方程f(x)=0的根就一定可以用原来系数域中的元素的加减乘除和根式表示出,方程f(x)=0也就有了“根式解’.这就是伽罗瓦探寻”方程可用根式解“的思路。
方程的系数域的扩大的过程可以多次重复进行,如果每次扩大时添加的都是原系数域的根式,则扩域中的元素都能用原域中的元素的加减乘除和根式表示出,如果这种扩大系数域的方式能使方程f(x)在扩域上的群称为幺群,那么方程f(x)=0的根就一定可以用原来系数域中的元素的加减乘除和根式表示出,方程f(x)=0也就有了“根式解’.这就是伽罗瓦探寻”方程可用根式解“的思路。
也就是说每次用根式扩张的方法能不能最后将群变为恒等映射。
例子:x4+bx2+c=0x^4+bx^2+c=0x4+bx2+c=0
这里b,c是独立的(或者称在Q上是代数无关的,即b,c不能作为Q上任意2元多项式的根)。该方程的系数域可以看作是Q(b,c),即有理数域添加b,c而成的域,记为F.
这个四次方程有四个根:
a1=x−b+b2−4c2a2=−x−b+b2−4c2a1=\sqrt { x\frac{-b+\sqrt { b^2-4c}}{2}} \qquad a2=-\sqrt { x\frac{-b+\sqrt { b^2-4c}}{2}}a1=x2−b+b2−4ca2=−x2−b+b2−4c
a3=x−b−b2−4c2a4=−x−b−b2−4c2a3=\sqrt { x\frac{-b-\sqrt { b^2-4c}}{2}} \qquad a4=-\sqrt { x\frac{-b-\sqrt { b^2-4c}}{2}}a3=x2−b−b2−4ca4=−x2−b−b2−4c
于是:
a1+a2=0a3+a4=0a1+a2=0 \qquad a3+a4=0a1+a2=0a3+a4=0
这是根在F中的两个关系。
F不用扩充自动就有两个关系。
如果考虑根集的所有置换共有4!个。
作用σ保持这两个关系不变则有σ(a1)+σ(a2)=0,σ(a3)+σ(a4)=0置换就只有8个(恒等,a1,a2可互换,a3,a4可互换,a1,a3互换,同时a2,a4互换,变换(4,3,1,2)结果为【3,4,2,1】,结果为【4,3,1,2】的,结果为【4,3,2,1】的)作用\sigma保持这两个关系不变则有\sigma(a1)+\sigma(a2)=0,\sigma(a3)+\sigma(a4)=0\\置换就只有8个\\(恒等,a1,a2可互换,a3,a4可互换,a1,a3互换,同时a2,a4互换, \\变换(4,3,1,2)结果为【3,4,2,1】,结果为【4,3,1,2】的,结果为【4,3,2,1】的)作用σ保持这两个关系不变则有σ(a1)+σ(a2)=0,σ(a3)+σ(a4)=0置换就只有8个(恒等,a1,a2可互换,a3,a4可互换,a1,a3互换,同时a2,a4互换,变换(4,3,1,2)结果为【3,4,2,1】,结果为【4,3,1,2】的,结果为【4,3,2,1】的)
所以根没有在F中,因为保持关系不变的置换有8个。
用伽罗瓦理论来说就是分裂域对域F的次数是8
可以证明 ,这8个置换,也是24个置换中使根a1,a2,a3,a4之间在F中全部关系都不变的仅有的置换。这8个置换构成的集合是有结构的。他们关于置换的乘法成群。称为该方程在F上的群,它同构于S4的一个子群。
构成的这个群就是f(x)=0在F上的群,实际上就是Gal(K/F),这时K!=F,也就是没有将根全部找出来。
加元素:
我们再次注意到
a12−a22−b2−4c=0.它并不是根之间在F上的一个关系,因为b2−4c不是F中的元素。但如果把根式b2−4c添加到F中去,形成的扩域F1=F(b2−4c),则a12−a22−b2−4c=0就是根之间在F1上的一个关系了。a1^2-a2^2-\sqrt { b^2-4c}=0.它并不是根之间在F上的一个关系,\\因为\sqrt { b^2-4c}不是F中的元素。\\但如果把根式\sqrt { b^2-4c}添加到F中去,形成的扩域F1=F(\sqrt { b^2-4c}),\\则a1^2-a2^2-\sqrt { b^2-4c}=0就是根之间在F1上的一个关系了。 a12−a22−b2−4c=0.它并不是根之间在F上的一个关系,因为b2−4c不是F中的元素。但如果把根式b2−4c添加到F中去,形成的扩域F1=F(b2−4c),则a12−a22−b2−4c=0就是根之间在F1上的一个关系了。
a12−a22−b2−4c=0.它并不是根之间在F上的一个关系,因为b2−4c不是F中的元素。但如果把根式b2−4c添加到F中去,形成的扩域F1=F(b2−4c),则a12−a22−b2−4c=0就是根之间在F1上的一个关系了。a1^2-a2^2-\sqrt { b^2-4c}=0.它并不是根之间在F上的一个关系,\\因为\sqrt { b^2-4c}不是F中的元素。\\但如果把根式\sqrt { b^2-4c}添加到F中去,形成的扩域F1=F(\sqrt { b^2-4c}),\\则a1^2-a2^2-\sqrt { b^2-4c}=0就是根之间在F1上的一个关系了。 a12−a22−b2−4c=0.它并不是根之间在F上的一个关系,因为b2−4c不是F中的元素。但如果把根式b2−4c添加到F中去,形成的扩域F1=F(b2−4c),则a12−a22−b2−4c=0就是根之间在F1上的一个关系了。
由于a1+a2=0a3+a4=0导致a12=a22和a32=a42,所以,上面的8个置换中的前4个使根之间在F1中的关系a12−a22−b2−4c=0保持不变但后4个置换则不能使之保持不变。可以证明,这前4个置换能使跟之间在F1中的全部关系保持不变,从而构成方程在F1上的群,它是这8个置换构成的群的子群。由于a1+a2=0 \qquad a3+a4=0导致a1^2=a2^2和a3^2=a4^2,所以,\\上面的8个置换中的前4个使根之间在F1中的关系a1^2-a2^2-\sqrt { b^2-4c}=0保持不变\\但后4个置换则不能使之保持不变。 可以证明,这前4个置换能使跟之间在F1中的全部关系保持不变,从而构成方程在F1上的群,\\它是这8个置换构成的群的子群。 由于a1+a2=0a3+a4=0导致a12=a22和a32=a42,所以,上面的8个置换中的前4个使根之间在F1中的关系a12−a22−b2−4c=0保持不变但后4个置换则不能使之保持不变。可以证明,这前4个置换能使跟之间在F1中的全部关系保持不变,从而构成方程在F1上的群,它是这8个置换构成的群的子群。
我们再次注意到a3−a4−2−b−b2−4c2=0它并不是根之间在F1中的一个关系,因为虽然−b−b2−4c2∈F1但是其开平方后一般不再是F1中的元素。可是,如果把F1中元素的根式−b−b2−4c2添加到F1中去,形成扩域F2=F1(−b−b2−4c2)则a3−a4−2−b−b2−4c2=0就是根之间在F2中的一个关系。这个关系只在前两个置换下保持不变,而在后六个置换下都不能保持不变,从而构成方程在F2上的群,它是上述4个置换构成的群的子群。我们再次注意到a3-a4-2\sqrt { \frac{-b-\sqrt {b^2-4c}}{2}}=0\\ 它并不是根之间在F1中的一个关系,因为虽然 \frac{-b-\sqrt {b^2-4c}}{2} \in F1\\ 但是其开平方后一般不再是F1中的元素。\\可是,如果把F1中元素的根式\sqrt { \frac{-b-\sqrt {b^2-4c}}{2}} 添加到F1中去,形成扩域F2=F1(\sqrt { \frac{-b-\sqrt {b^2-4c}}{2}})\\ 则 a3-a4-2\sqrt { \frac{-b-\sqrt {b^2-4c}}{2}}=0\\ 就是根之间在F2中的一个关系。这个关系只在前两个置换下保持不变,\\而在后六个置换下都不能保持不变,从而构成方程在F2上的群,它是上述4个置换构成的群的子群。 我们再次注意到a3−a4−22−b−b2−4c=0它并不是根之间在F1中的一个关系,因为虽然2−b−b2−4c∈F1但是其开平方后一般不再是F1中的元素。可是,如果把F1中元素的根式2−b−b2−4c添加到F1中去,形成扩域F2=F1(2−b−b2−4c)则a3−a4−22−b−b2−4c=0就是根之间在F2中的一个关系。这个关系只在前两个置换下保持不变,而在后六个置换下都不能保持不变,从而构成方程在F2上的群,它是上述4个置换构成的群的子群。
因为a3,a4相差一个符号因为a3,a4相差一个符号因为a3,a4相差一个符号
我们再次注意到a1−a2−2−b+b2−4c2=0它并不是根之间在F2中的一个关系,因为虽然−b+b2−4c2∈F1但是其开平方后一般不再是F1中的元素。可是,如果把F2中元素的根式−b−b2−4c2添加到F2中去,形成扩域F3=F2(−b+b2−4c2)则a1−a2−2−b+b2−4c2=0就是根之间在F3中的一个关系。这个关系只在σ1,σ3两个置换下保持不变,但σ3不能使根之间再F中的全部关系保持不变,从而也就不能使根之间在F3(F2⊂F3)中的全部关系保持不变,我们再次注意到a1-a2-2\sqrt { \frac{-b+\sqrt {b^2-4c}}{2}}=0\\ 它并不是根之间在F2中的一个关系,因为虽然 \frac{-b+\sqrt {b^2-4c}}{2} \in F1\\ 但是其开平方后一般不再是F1中的元素。\\可是,如果把F2中元素的根式\sqrt { \frac{-b-\sqrt {b^2-4c}}{2}} 添加到F2中去,形成扩域F3=F2(\sqrt { \frac{-b+\sqrt {b^2-4c}}{2}})\\ 则 a1-a2-2\sqrt { \frac{-b+\sqrt {b^2-4c}}{2}}=0\\ 就是根之间在F3中的一个关系。\\这个关系只在\sigma 1,\sigma 3 两个置换下保持不变,\\ 但\sigma 3不能使根之间再F中的全部关系保持不变,从而也就不能使根之间在F3(F2\subset F3)中的全部关系保持不变, 我们再次注意到a1−a2−22−b+b2−4c=0它并不是根之间在F2中的一个关系,因为虽然2−b+b2−4c∈F1但是其开平方后一般不再是F1中的元素。可是,如果把F2中元素的根式2−b−b2−4c添加到F2中去,形成扩域F3=F2(2−b+b2−4c)则a1−a2−22−b+b2−4c=0就是根之间在F3中的一个关系。这个关系只在σ1,σ3两个置换下保持不变,但σ3不能使根之间再F中的全部关系保持不变,从而也就不能使根之间在F3(F2⊂F3)中的全部关系保持不变,
从这个例子可以看到,方程在系数域上的群,是方程在系数域中可解性的关键,因为这个群的大小表示出方程的根在系数域上的不可区分的程度,当这个方程在系数域上的群是最小的群幺群时,表明根在系数域上完全区分开,或者说,根就在系数域中。从这个例子可以看到,方程在系数域上的群,是方程在系数域中可解性的关键,因为这个群的大小表示出方程的根在系数域上的不可区分的程度,当这个方程在系数域上的群是最小的群幺群时,表明根在系数域上完全区分开,或者说,根就在系数域中。 从这个例子可以看到,方程在系数域上的群,是方程在系数域中可解性的关键,因为这个群的大小表示出方程的根在系数域上的不可区分的程度,当这个方程在系数域上的群是最小的群幺群时,表明根在系数域上完全区分开,或者说,根就在系数域中。
这个例子是个特殊的四次方程。
实际工作是在不知道方程的根的表达式的情况下进行的。
伽罗瓦说明了,在不知道根的情况下,如何能找到方程在系数域上的群,
以及通过预解式找到向系数域中添加的根式从而得到更大的系数域。
这样逐次进行,直到系数域扩大到方程在扩域上的群是幺群时,根就在扩大的系数域里了。
这些步骤中包含了大量的理论,伽罗瓦是想由此说明他的理论,而不是想把这些步骤作为解放成的一个实际方法。
下边,我们用现代的语言来简要叙述伽罗瓦的理论及其在”方程根式解“和”尺规作图“两个房买你的主要结果。
简单总结