伽罗瓦理论---域的扩张与分裂域
命题1.如果域，,,则是域在中不可约.
Proof: 假设不可约，我们证是域。任取中的非零元,只需找到其逆即可。由于非零，则，即，又不可约，
故，从而存在使得，为此我们有
即，这说明。由的任意性知是域。
另一方面假设是域。假设可约，（此处用代替）。则在中有分解式，且。
下面说明是中非零元，否则
则有，即，这与矛盾，故是中非零元。
注意到，即是的零因子，这与假设是域矛盾（域是整环，无零因子）。#
命题2.设是域，是次首一不可约多项式（monic irreducible）,设，其中，且设.
(i)是域，且是同构于的的子域，因此可以看做是域的扩张.
(ii)是在中的根.
(iii)如果，且是的根，则.
(iv)是中唯一的以为根的首一不可约多项式.
(v)若将看做上的线性空间，则是的一组基，记为其维数，则.
Proof: (i)命题1已证是域，下找出于之间的同构。取环到其商环的自然同态，取其在下的限制，。下证明是于之间的同构。首先其是同态，且，即亦为满设，又是域，其理想只能是平凡理想，且是的理想，显然只能是，从而是单射，综上是于之间的同构.
(ii)设，其中，在中把带入得，注意在带入时需利用(i)中的同构把的系数换作，于是我们有：
即是在中的根.
(iii)设，且是的根，假设，则)（不可约）存在使得，将其看做中的等式，且将带入得0=1,这显然是矛盾。故.
(iv)设是中以为根的首一不可约多项式，由(iii)知,又不可约所以，为常数，又均为首一多项式故.
(v)任取，对使用带余除法，存在使得，且或者，因为，这意味着。设其中，则在(ii)的证明中我们知道
故，即。只需证线性无关，为此我们证明的表示是唯一的。
假设，
且定义，，若则得证。若非零，显然以为根，由(ii)得，则矛盾故从而的表示是唯一的.即是作为上线性空间的一组基，显然.#
定义1.如果域包含作为子域，则称为域的域扩张（field extension）记作。
一个扩张称为有限扩张，如果可以作为上有限维线性空间。其维数记作，称为扩张的度（degree）.
例1．中的不可约多项式，由命题2知是度为2的域扩张。如果是的根，则；中的每一个元素都有唯一的表示，显然是的另一种构造方式。
下面以一种自然的方式建立于之间的同构。一般以记上述，考虑赋值映射，,首先是满射，，其次是以为根的全体多项式。我们知道，所以；对于反包含关系，任取，且以为根，
则在中，因此在中也成立，而在不可约得，从而，故。由同态基本定理知同构于。
定义2.设是域扩张.元素称为域上的代数元，如果存在以为根的非零多项式；否则，称为域上的超越元.域扩张是代数扩张，如果对任意的都是域上的超越元.
一个实数是超越数，如果它是上的超越元.
命题3.如果是有限扩张，则是代数扩张.
Proof:设是有限扩张，根据定义是域上的有限维线性空间，设，则任意，线性相关，存在不全为零的使得，即多项式以为根，故是域上的代数元， 由的任意性是代数扩张.#
注命题的逆命题不成立.
定义3.如果是域扩张，且，则是所有那些包含及的的子域的交，称为的添加到得到的子域.
更一般的设，则是所有那些包含及的的子域的交，称为的添加到得到的子域，特别当为有限子集时记作.
显然是包含及的的最小子域，即若是包含及的的子域，则.
下面的命题将指出，命题2中的域（是中首一不可约多项式）与根的添加有密切关系.
命题4. (i)如果是域扩张，且是上的代数元，则存在唯一的首一不可约多项式以为根.此外，如果，则，事实上存在同构
使得
(ii)如果是的另一个根，则存在同构
使得.
Proof: (i)考虑赋值映射，显然是同态，由同态基本定理知，是一切以为根的多项式组成的中的理想，而的理想都是主理想，故存在首一多项式使得；是一切由组成的多项式是的子环，由于由命题2知，在中不可约，且是域，这样的是唯一的.又包含及，反之任何包含及的的子域必包含，故，则同构其中是自然同态，则，.
(ii)由(i)知存在同构，则，.#
命题4说明对一个给定的域扩张每一个代数元，若将添加至得到域，则相当于,是以为根的首一不可约多项式.把该多项式称为的域上的最小多项式.
定义4.如果是域扩张，且是上的代数元，则唯一的以为根的首一不可约多项式称为的域上的最小多项式（minimal polynomial）,记作
最小多项式和基域有关，如，.
命题5.设是域，且是的有限扩张，是的有限扩张，则是的有限扩张，且
Proof: 设是关于的一组基，是关于的一组基，下面证明所有的记作是关于的一组基;
设，存在使得，对每个存在使得
则，故，下面证线性无关，假设，若设，则，由于是关于的一组基，则有
又是关于的一组基，故，故线性无关，综上是关于的一组基，显然有#
例2 .设.若是它的一个根，则 ，注意到，于是，是的四个根.容易知道的有理根只有，故其在中不可约.设，则显然有，于是存在域塔，由命题5知，因为且是中不可约多项式的根，所以；另一方面，注意到，因，而要么则，或者在不可约此时，总之，综上，故，即，这意味着可以通过添加的根得到，亦可以添加的根得到.
下面的命题至关重要，它表明对于任意多项式存在包含的域包含的所有跟.
命题6.（Kronecker）如果是域且，则存在域包含作为子域且在可分解为线性多项式的乘积.
Proof: 对做数学归纳法，当时；如果，设，其中是中不可约多项式，由命题2知存在域包含即的根，从而在中我们有且.由归纳假设存在域包含且在可分解为线性因式乘积，从而在亦可分解为线性因式的乘积.#
对于,上述定理即为代数基本定理，但命题6比代数基本定理走得远，如存在一个域包含及.上述命题也保证了对于任意给定的多项式，总是存在的是的根.
定义5.设是域的子域，且,我们称在上分裂（splitting over K）如果
其中在中且非零.
如果是多项式，则域扩张称为在上的一个分裂域（splitting field），如果在上分裂，但不在任意的真子域上分裂.
例3. 考虑，的根是故在上分裂；但不是在上的一个分裂域，因为不是包含及的最小域.一般的分裂域与及都有关系；在上的分裂域是，而在上的分裂域是.
推论1.设是域且，则存在在上的分裂域.
Proof： 由命题6知存在域，在上分裂，即其中在中且非零.则子域是在上的分裂域.
