P是三角形ABC的内心 AP交三角形的外接圆于D E在AC的延长线上 且AD的平方=AB乘AE 求证

问题补充：

P是三角形ABC的内心,AP交三角形的外接圆于D,E在AC的延长线上,且AD的平方=AB乘AE,求证DE是圆O的切线

答案：

证明：连接OD

P为三角形ABC内切圆心,所以∠BAD=∠CAD

弧BD=弧CD

所以OD⊥BC

在△ABD和△ADE中

∠BAD=∠DAE

AD²=AB×AE,即AB/AD=AD/AE

所以△ABD∽△ADE,∠ADB=∠AED

因为∠ADB和∠ACB所对都是AB弧,所以∠ADB=∠ACB

因此∠AED=∠ACB,BC∥DE

所以OD⊥DE

DE为圆O切线