已知△ABC中 ∠B=45° AB= tanC=2 ⊙O过点A C 交BC边于点D．且 求CD的长．

问题补充：

已知△ABC中，∠B=45°，AB=，tanC=2，⊙O过点A、C，交BC边于点D．且，求CD的长．

答案：

解：如图，连接AC，延长AO交BC于点E．

∵，

∴AD=AC，

∵点O是等腰△ACD的外心，

∴AE⊥CD，且CD=2CE．

∴在直角△ABE中，∠B=45°，AB=，则AE=4．

∵tanC=2，

∴=2，即AE=2CE，

∴CD=AE=4，即线段CD的长度是4．

解析分析：如图，连接AC，延长AO交BC于点E．根据圆心角、弧、弦间的关系推知△ACD是等腰三角形，由其“三合一”的性质证得AE是CD的中垂线．在直角△AEC中根据勾股定理求得线段CE的长度，进而根据垂径定理来求线段CD的长度．

点评：本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形以及圆心角、弧、弦间的关系．注意解题过程中要证明一下AE是线段CD的中垂线．