问题补充:
如图,已知在等腰△ABC中,∠A=∠B=30°,过点C作CD⊥AC交AB于点D.
(1)尺规作图:过A,D,C三点作⊙O(只要求作出图形,保留痕迹,不要求写作法);
(2)求证:BC是过A,D,C三点的圆的切线;
(3)若过A,D,C三点的圆的半径为,则线段BC上是否存在一点P,使得以P,D,B为顶点的三角形与△BCO相似?若存在,求出DP的长;若不存在,请说明理由.
答案:
(1)解:作AD中点O
以点O为圆心,OA长为半径作圆.
(2)证明:∵CD⊥AC,
∴∠ACD=90°,
∴AD是⊙O的直径.
连接OC,
∵∠A=∠B=30°,
∴∠ACB=120°.
又∵OA=OC,
∴∠ACO=∠A=30°.
∴∠BCO=∠ACB-∠ACO=120°-30°=90°.
∴BC⊥OC.
∴BC是⊙O的切线.
(3)解:存在.
∵∠BCD=∠ACB-∠ACD=120°-90°=30°,
∴∠BCD=∠B.
即DB=DC.
又∵在Rt△ACD中,DC=AD?sin30°=,
∴BD=.
解法一:①过点D作DP1∥OC,则△P1DB∽△COB,.
∵BO=BD+OD=,
∴P1D=×OC=×=.
②过点D作DP2⊥AB,则△BDP2∽△BCO,
∴.
∵BC=,
∴P2D=×OC==1.
解法二:①当△BP1D∽△BCO时,∠DP1B=∠OCB=90°,
在Rt△BP1D中,DP1=BD?sin30°=.
②当△BDP2∽△BCO时,∠P2DB=∠OCB=90°,
在Rt△BP2D中,DP2=BD?tan30°=1.
解析分析:(1)因为CD⊥AC,所以以AD为直径作圆即为⊙O;
(2)BC过半径OC外端点C,要证BC是过A,D,C三点的圆的切线,只证OC⊥BC即可.
(3)通过证明△BDP∽△BCO,再利用相似比即可求得DP的长.
点评:此题考查相似三角形的判定,外接圆作法及切线的判定的综合运用.
如图 已知在等腰△ABC中 ∠A=∠B=30° 过点C作CD⊥AC交AB于点D.(1)尺规作图:过A D C三点作⊙O(只要求作出图形 保留痕迹 不要求写作法);(2