如图1,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点为C(l,4),交x轴于A、B两点,交y轴于点D,其中点B的坐标为(3,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图2,过点A的直线与抛物线交于点 E,交y轴于点F,其中点E的横坐标为2,若直线PQ为抛物线的对称轴,点G为直线 PQ上的一动点,则x轴上是否存在一点H,使D、G,H、F四点所围成的四边形周长最小.若存在,求出这个最小值及点G、H的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)如图3,在抛物线上是否存在一点T,过点T作x轴的垂线,垂足为点过点M 作MN∥BD,交线段AD于点N,连接MD,使△DNM∽△BMD,若存在,求出点T的坐标;若不存在,请说明理由.
考点分析:
二次函数综合题.
题干分析:
(1)设抛物线的解析式为:y=a(x-1)2+4,然后将点B的坐标代入函数解析式即可求得此抛物线的解析式;
(2)作F关于x轴的对称点F′(0,-1),连接EF′交x轴于H,交对称轴x=1于G,四边形DFHG的周长即为最小,则根据题意即可求得这个最小值及点G、H的坐标;
(3)首先设M的坐标为(a,0),求得BD与DM的长,由平行线分线段成比例定理,求得MN的长,然后由相似三角形对应边成比例,即可得DM2=BDMN,则可得到关于a的一元二次方程,解方程即可求得答案.
解题反思:
此此题考查了待定系数法求函数的解析式,周长最短问题,相似三角形的判定与性质,以及平行线分线段成比例定理等知识.此题综合性很强,解题的关键是注意数形结合思想的应用.