在许多问题中,代数和几何问题交织在一起,就要沟通这些知识之间的内在联系,以数形结合的方法找到解决问题的突破口。下面分享几道经典例题,供大家学习。
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例题1:如图,已知抛物线y=1/2x 2+bx+c与x轴交于A(-4,0)、B(1,0)两点,与y轴交于C点。
(1)求此抛物线的解析式;
(2)设E是线段AB上的动点,作EF∥AC交BC于F,连接CE,当△CEF的面积是△BEF面积的2倍时,求E点的坐标;
(3)若P为抛物线上A、C两点间的一个动点,过P作y轴的平行线,交AC于Q,当P点运动到什么位置时,线段PQ的值最大,并求此时P点的坐标。
例题2:图9是二次函数y=(x+m)2+k的图象,其顶点坐标为M(1,-4).
(1)求出图象与x轴的交点A、B的坐标;
(2)在二次函数的图象上是否存在点P,使S△PAB =5/4S△MAB,若存在,求出P点的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新的图象,请你结合这个新的图象回答:当直线y=x+b(b<1)与此图象有两个公共点时,b的取值范围。
例题3:已知:二次函数y=ax 2+bx+c的图象与x轴相交于A、B两点,与y轴交于点C,其中点A的坐标是(-2,0),点B在x轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴上,线段OB、OC的长(OC<OB)是方程x 2-10x+24=0的两个根.
(1)求B、C两点的坐标;
(2)求这个二次函数的解析式;
(3)在这个二次函数的图象上是否存在点P,使△PAC是直角三角形?若存在,求出P点坐标;若不存在,请说明理由。
解题必须由已知,想可知(联想知识);由未知,想须知(应具备的条件),注意知识的结合。通过解综合题有利于透彻和熟练地掌握基础知识和基本技能,更深刻地领悟数学思想方法,提高分析问题和解决问题的能力。