问题补充:
如图,△ABC内接于⊙O,过点A的直线交⊙O于点P,交BC的延长线于点D,AB2=AP?AD.
(1)求证:AB=AC;
(2)如果∠ABC=60°,⊙O的半径为1,且P为的中点,求AD的长.
答案:
(1)证明:连接BP,
∵AB2=AP?AD,∴,
又∵∠BAD=∠PAB,
∴△ABD∽△APB,
∵∠ABC=∠APB,∠APB=∠ACB,
∴∠ABC=∠ACB,
∴AB=AC;
(2)解:由(1)知AB=AC,
∵∠ABC=60°,
∴△ABC为等边三角形,
∴∠BAC=60°,
∵P为的中点,
∴∠ABP=∠PAC=∠ABC=30°,
∴∠BAP=∠BAC+∠PAC=90°,
∴BP为直径,
∴BP过圆心O,
∴BP=2,
∴AP=BP=1,
∴AB2=BP2-AP2=3,
∵AB2=AP?AD,
∴AD==3.
解析分析:(1)根据AB2=AP?AD,可以连接BP,构造相似三角形.根据相似三角形的性质得到∠APB=∠ABD,再根据圆周角定理得到∠APB=∠ACB,即∠ABC=∠ACB,再根据等角对等边证明结论;
(2)根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形,发现等边三角形ABC,再根据点P为弧的中点,连接BP,发现30°的直角三角形,且BP是直径,从而求得AP的长,AB的长.再根据已知中的条件求得AD的长.
点评:掌握相似三角形的性质和判定,能够结合已知条件发现等边三角形和30°的直角三角形,根据它们的性质分析求解,属中等难度.
如图 △ABC内接于⊙O 过点A的直线交⊙O于点P 交BC的延长线于点D AB2=AP?AD.(1)求证:AB=AC;(2)如果∠ABC=60° ⊙O的半径为1 且P