问题补充:
如图,⊙O是△ABC的外接圆,AO⊥BC交BC于点D,过A点作AP∥BC,交BO的延长线于点P.
(1)求证:AP是⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径R为5,BC=8,求线段AP的长.
答案:
(1)证明:AO⊥BC于点D.
∴∠ADB=90°,
∵AP∥BC,
∴∠ADB=∠PAD=90°.
∴AO⊥AP
∵AO为⊙O的半径,
∴AP为⊙O的切线.
(2)解:∵AO⊥BC,BC=8,
∴BD=DC=4.
在Rt△BDO中,
∵OB=5,
∴.
又∵∠BDO=∠OAP=90°,∠AOP=∠BOD,
∴△AOP∽△DOB
∴,
即.
∴.
解析分析:(1)由AO与BC垂直得到∠ADB=90°,又AP平行于BC,根据内错角相等得到∠ADB=∠PAD=90°,即OA垂直于AP,又AO为圆O的半径,故AP为圆O的切线;
(2)由AO垂直BC于D,根据垂径定理得到D为BC中点,由BC的长一半求出BD和CD的长,在直角三角形OBD中,由BD和半径OB的长,根据勾股定理求出OD的长,然后由两对应角相等的两三角形相似得到△AOP∽△DOB,进而得到对应边成比例,列出AP的方程,即可求出方程的解即可得到AP的长.
点评:此题考查了切线的性质,勾股定理以及相似三角形的性质与判断.切线的证明方法有两种:
1、已知点,连接此点与圆心,证明夹角为直角;
2、未知点,作垂线,证明垂线段等于半径.
如图 ⊙O是△ABC的外接圆 AO⊥BC交BC于点D 过A点作AP∥BC 交BO的延长线于点P.(1)求证:AP是⊙O的切线;(2)若⊙O的半径R为5 BC=8 求线