问题补充:
如图,正方形ABCD的边长为2,E为线段AB上一点,点M为边AD的中点,EM的延长线与CD的延长线交于点F,MG⊥EF,交CD于N,交BC的延长线于G,点P是MG的中点.连接EG、FG.下列结论:①当点E为边AB的中点时,S△EFG=5;②MG=EF;③当AE=时,FG=;④若点E从点A运动到点B,则此过程中点P移动的距离为2.其中正确的结论的个数为A.1个B.2个C.3个D.4个
答案:
C
解析分析:当E点是AB的中点时,由条件可知AM=AE=1,由勾股定理求出EM=,通过证明△AME≌△DMF,可以得出EM=FM=,EF=2.过M作MN⊥BC,垂足为N(如图),可以得出Rt△AME∽Rt△QMG,可以求出MG=2,最后由三角形的面积公式求出即可判断①.作EW⊥CD于W,MQ⊥BC于Q易证△EFW和△MGQ,根据全等三角形的性质推出EF=MG,即可判断②;求出EM=2,求出FM,得出MG=EF=4,在△FMG中根据勾股定理求出FG,即可判断③;当E在A点时,P为正方形中心当E运动到B点时,P运动到P,证Rt△MPP∽Rt△EMG推出PP=2MP=2,即可判断④.
解答:过M作MQ⊥BC于Q,∵四边形ABCD是正方形,∴AB=2,∠A=∠B=90°,∴∠A=∠B=∠BQM=90°,∴四边形ABQM数矩形,∴MQ=AB=2,∵E、M分别为AB、AD中点,∴AE=AM=1,AM=MD,由勾股定理得:EM==,∵四边形ABCD是正方形,∴∠A=∠ADF=90°,AB∥CD,∴∠AEM=∠DFM,∵在△AEM和△DFM中,∴△AEM≌△DFM(AAS),∴EM=MF=,∴EF=2,∵四边形ABQM是矩形,∴∠AMQ=90°,∵∠EMG=90°,∴∠AME+∠EMQ=90°,∠EMQ+∠QMG=90°,∴∠AME=∠QMG,∵在△AME和△QGM中,∠A=∠MQG=90°,∠AME=∠QMG,∴△AME∽△QMG,∴==,∴MQ=QG=2,在Rt△MQG中,由勾股定理得:MG=2,∴S△EFG=EF×MG=×2×2=4,∴①错误;过E作EW⊥CD于W,∵MQ⊥BC,四边形ABCD是正方形,∴EW=AD=MQ=AB,∠MHE=90°,∵∠EMG=90°,∴∠MEG+∠EMH=90°,∠EMH+∠GMH=90°,∴∠MEH=∠QMG,∵在△FEW和△GMQ中,∴△FEW≌△GMQ(ASA),∴EF=MG,∴②正确;∵∠A=90°,AM=1,AE=,∴由勾股定理得:EM=2=FM,∴MG=EF=2+2=4,在Rt△FMG中,由勾股定理得:FG==2√5,∴③正确;当E在A点时,P为正方形中心当E运动到B点时,P运动到P,∵△ABM∽△MGB(已证),==,∵P为MQ的中点,P′为MG中点,∴PP′∥BC,∴∠MPP′=∠MQG=90°=∠BMG,∠MP′P=∠MGB,∴△MPP∽△BGM,∴==,∴PP=2MP=2,∴④正确;即正确的有3个.故选C.
点评:本题考查了正方形性质,勾股定理,全等三角形的性质和判定等知识点,主要考查学生的推理能力和计算能力,题目综合性比较强,难度偏大,对学生提出了较高的要求.
如图 正方形ABCD的边长为2 E为线段AB上一点 点M为边AD的中点 EM的延长线与CD的延长线交于点F MG⊥EF 交CD于N 交BC的延长线于G 点P是MG的中