问题补充:
如图,正方形ABCD中,点E是AD的中点,点P是AB上的动点,PE的延长线与CD的延长线交于点Q,过点E作EF⊥PQ交BC的延长线于点F.给出下列结论:
①△APE≌△DQE;
②点P在AB上总存在某个位置,使得△PQF为等边三角形;
③若tan∠AEP=,则.
其中正确的是A.①B.①③C.②③D.①②③
答案:
B
解析分析:①由四边形ABCD是正方形可以得出∠A=∠ADC=90°,可以求出∠ADQ=90°,得到∠A=∠ADQ,由点E是中点可以得到AE=DE,再有对顶角相等就可以得出△APE≌△DQE;②作EG⊥CD于G,EM⊥BC于M易证Rt△EFM≌Rt△PQG,根据全等三角形的性质推出EF=MG,即可判断②;③由tan∠AEP=可以得出=,设AP=2a,AE=3a,由(1)得ED=3a,进而可以得出DR=4.5a,CR=1.5a,CF=a,根据三角形的面积公式分别表示出S△APE,S△PBF就可以得出结论.
解答:①∵四边形ABCD是正方形∴AB=BC=CD=QD,∠A=∠B=90°,∵E为AD中点,∴AE=ED.在△AEP和△DFQ中∵,∴△AEP≌△DFQ,故①正确;②作EG⊥CD于G,EM⊥BC于M,∴∠PGQ=∠EMF=90°.∵EF⊥PQ,∴∠PEF=90°,即∠PEH+∠HEF=90°,∵∠HPE+∠HEP=90°,∴∠HPE=∠HEF,∵四边形ABCD是正方形,∴PG=EM.在△EFM和△PQG中∵,∴△EFM≌△PQG,∴EF=PQ,∴在Rt△PEF中,PF>EF,∴PF>PQ,∴△PQF不能为等边三角形,故②错误;③∵△AEP≌△DFQ,∴AE=ED,∵tan∠AEP==,设AP=2a,AE=3a,∴ED=3a.∴AD=6a.∵∠AEP+∠DEF=90°,∠DEF+∠DRE=90°,∴tan∠DRE==,∴DR=4.5a,∴CR=1.5a.∵∠CRF=∠DRE,∴tan∠ERF==,∴CF=a.∴BF=7a,BP=4a,∴S△APE=(2a.3a)=3a,S△PBF=(4a.7a)=14a,∴,故③正确.故选B.
点评:本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质的运用,锐角三角函数的定义的运用,三角形面积公式的运用.
如图 正方形ABCD中 点E是AD的中点 点P是AB上的动点 PE的延长线与CD的延长线交于点Q 过点E作EF⊥PQ交BC的延长线于点F.给出下列结论:①△APE≌△