如图所示 AB是⊙O直径 OD过弦BC的中点F 且交⊙O于点E 若∠AEC=∠ODB．求证：直线BD和⊙O相切．

问题补充：

如图所示，AB是⊙O直径，OD过弦BC的中点F，且交⊙O于点E，若∠AEC=∠ODB．求证：直线BD和⊙O相切．

答案：

证明：连接AC，

∴∠AEC=∠ABC，

∵∠AEC=∠ODB，

∴∠ODB=∠ABC．

∵O，F分别是AB，BC的中点，

∴AC∥OD，

∴∠BOD=∠BAC．

∵∠BAC+∠ABC=90°，

∴∠ODB+∠BOD=90°．

∴OB⊥BD，即直线BD和⊙O相切．

解析分析：要证直线BD和⊙O相切，通过∠BOD=∠BAC，因为∠BAC+∠ABC=90°，所以证明OB⊥BD即可．

点评：熟练掌握切线的性质及判定．