问题补充:
如图,AB是⊙O直径,OD⊥BC,垂足为F,且交⊙O于点E,若∠AEC=∠ODB.
(1)判断直线BD和⊙O的位置关系,并给出证明;
(2)如果∠AEC=30°,DF=,求⊙O的直径.
答案:
解:(1)直线BD与圆O相切,理由为:
证明:∵∠AEC与∠ABC都对,
∴∠AEC=∠ABC,又∠AEC=∠ODB,
∴∠ABC=∠ODB,
∵OD⊥BC,
∴∠ABC+∠BOD=90°,
∴∠ODB+∠BOD=90°,即∠OBD=90°,
则直线BD与圆O相切;
(2)∵∠AEC=30°,
∴∠ABC=∠ODB=∠AEC=30°,
∵DF=,
∴在Rt△OBF中,OF=OB,
在Rt△OBD中,OB=OD=(DF+OF)=(+OB),
解得:OB=5,
则圆O的直径为10.
解析分析:(1)直线BD与圆O相切,理由为:利用同弧所对的圆周角相等得到∠AEC=∠ABC,再由∠AEC=∠ODB,利用等量代换得到∠ABC=∠ODB,由OD与BC垂直,得到三角形OBF为直角三角形,可得出直角三角形中两锐角互余,等量代换可得出三角形OBD中两角互余,进而确定出AB与BD垂直,可得出BD为圆O的切线;
(2)由∠AEC=30°,得到∠ABC=∠ODB=30°,在直角三角形OFB中,利用30°所对的直角边等于斜边的一半可得出OF等于OB的一半,在直角三角形OBD中,利用30°所对的直角边等于斜边的一半得到OB为OD的一半,而OD=DF+OF,列出关于OB的方程,求出方程的解得到OB的长,即为圆的半径,即可确定出圆的直径.
点评:此题考查了切线的判定与性质,含30°直角三角形的性质,以及圆周角定理,熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键.
如图 AB是⊙O直径 OD⊥BC 垂足为F 且交⊙O于点E 若∠AEC=∠ODB.(1)判断直线BD和⊙O的位置关系 并给出证明;(2)如果∠AEC=30° DF=