问题补充:
如图,梯形ABCD在平面直角坐标系中,上底AD平行于x轴,下底BC交y轴于点E,点C(4,-2),点D(1,2),BC=9,sin∠ABC=.
(1)求直线AB的解析式;
(2)若点H的坐标为(-1,-1),动点G从B出发,以1个单位/秒的速度沿着BC边向C点运动(点G可以与点B或点C重合),求△HGE的面积S(S≠0)随动点G的运动时间t′秒变化的函数关系式(写出自变量t′的取值范围);
(3)在(2)的条件下,当秒时,点G停止运动,此时直线GH与y轴交于点N.另一动点P开始从B出发,以1个单位/秒的速度沿着梯形的各边运动一周,即由B到A,然后由A到D,再由D到C,最后由C回到B(点P可以与梯形的各顶点重合).设动点P的运动时间为t秒,点M为直线HE上任意一点(点M不与点H重合),在点P的整个运动过程中,求出所有能使∠PHM与∠HNE相等的t的值.
答案:
解:(1)如图1,过A作AF⊥BC.
∵C(4,-2),∴CE=4.
而BC=9,∴BE=5.
∴B(-5,-2).
∵D(1,2),∴AF=4.
∵sin∠ABC=,∴BF=3.
∴A(-2,2).
设直线AB的解析式为y=kx+b,
∵,∴,
∴直线AB的解析式为y=.
(2)如图1,由题意:
情况一:G在线段BE上且不与点E重合.
∴GE=5-t′,
S=(5-t′)×;
情况二:G在线段CE上且不与点E重合.
∴GE=t′-5
S=(t′-5)×;
情况一中的自变量的取值范围:0≤t′<5,
情况二中的自变量的取值范围:5<t′≤9.
(3)如图2,
当t′=秒时,GE=5-
∴G(-,-2),直线GH解析式为y=2x+1.
∴N(0,1).
当点M在射线HF上时,有两种情况:
情况一:当点P运动至P1时,∠P1HM=∠HNE.
过点P1作平行于y轴的直线,交直线HE于点Q1,交BC于点R.
由BP1=t,sin∠ABC=,可得BR=,P1R=,
∴RE=Q1R=5-,
∴P1Q1=5-.
∴Q1H=.
由△P1Q1H∽△HEN得,
∴t1=.
∴当t1=时,∠P1HM=∠HNE;
情况二:当点P运动至点P2时,
设直线P2H与x轴交于点T,直线HE与x交于点Q2.
此时,△Q2TH∽△EHN
∴解得.
∴直线HT的解析式为y=-3x-4,此时直线HT恰好经过点A(-2,2).
∴点P2与点A重合,即BP2=5,
∴t2=5.
∴当t2=5秒时,∠P2HM=∠HNE;
若点M在射线HE上时(点M记为点M1),有两种情况:
情况三:当点P运动至点P3时,∠P3HM1=∠HNE.
过点P3作平行于y轴的直线P3Q3,交直线HE于点Q3,可用求点P1同样的方法.
∴t3=15.
∴当t3=15秒时,∠P3HM1=∠HNE;
情况四:当点P运动至P4时,∠P4HM1=∠HNE.
可得△P4HE≌△THQ2,∴P4E=TQ2=.∴t4=
∴当t4=秒时,∠P4HM2=∠HNE.
综上所述:当t=秒或t=5秒或t=15秒或t=秒时,∠PHM=∠HNE.
解析分析:(1)作AF⊥BC.已知点C的坐标可求出BC=9,CE=4,BE=5,又知道点B,C的坐标然后利用三角函数可求出点A的坐标.
设直线AB的解析式为y=kx+b,把已知坐标代入可求出解析式.
(2)本题要分两种情况讨论:首先当G在线段BE上且不与点E重合,可得GE=5-t′,S=(5-t′)×1×;
当G在线段CE上且不与点E重合,这时候GE=t′-5,S=(t′-5)×,分别求出自变量的取值范围即可.
(3)如图可求出GE的长与点G的坐标后可得点N的坐标.当点M在射线HF上时,分四种情况讨论:
当点P运动至P1时,∠P1HM=∠HNE.过点P1作平行于y轴的直线,证明△P1Q1H∽△HEN得,然后求出t1的值;
当点P运动至点P2时,∠P2HN=∠HNE.设直线P2H与x轴交于点T,直线HE与x交于点Q2.可得△Q2TH∽△EHN,利用解得Q2T的长以及点T的坐标.求出直线HT的解析式后求出t2的值;
当点P运动至点P3时,∠P3HM1=∠HNE.过点P3作平行于y轴的直线P3Q3,交直线HE于点Q3,同1求出t的坐标;
当点P运动至P4时,∠P4HM1=∠HNE.求证△P4HE≌△THQ2,求出t的值.
点评:本题考查的是一次函数的综合运用以及分段函数的运用,本题难度较大,考生应注意全面分析题目求解.
如图 梯形ABCD在平面直角坐标系中 上底AD平行于x轴 下底BC交y轴于点E 点C(4 -2) 点D(1 2) BC=9 sin∠ABC=.(1)求直线AB的解析式