初中数学初二数学八年级数学《轴对称》中考真题3

如图，（1）已知△ABC中，∠A=90°，∠B=67.5°，请画一条直线把这个三角形分成两个等腰三角形。（2）已知△ABC中，∠C是其最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个等腰三角形，请探究∠ABC与∠C之间的关系。

分析：第一问

在△ABC中，∠A=90°，∠C=90°-∠B=90°-67.5°=22.5°。我们可以把∠A分成67.5°和22.5°的角，这时我们可以得到两个等腰三角形；我们还可以把∠B分成45°和22.5°的角，此时也能得到两个等腰三角形。

分析：第二问

1、我们先假设∠ABC=y，∠C=x，过点B的直线交边AC于点D，分的△ABD和△BCD均为等腰三角形。

2、若∠C是顶角，如图1，

∠CBD=∠CDB=（180°-x）=90°-x，∠A=180°-x-y；所以∠ADB>90°。那么∠ADB不可能是底角，此时存在∠A=∠ABD。因为∠ABD=y-（90°-x），所以180°-x-y= y-（90°-x），整理得3x+4y=540°，即∠ABC=135°-∠C。

3、若∠C是底角，则有两种情况，第一种情况：如图2，当DB=DC时，则∠DBC=x，

在△ABD中，∠ADB=2x，∠ABD=y-x，1、由AB=AD，得2x=y-x，此时有y=3x，即∠ABC=3∠C， 2、由AB=BD，得180°-x-y=2x，此时3x+y=180°，即∠ABC=180°-3∠C。 3、由AD=BD，得180°-x-y=y-x。此时y=90°，即，∠C为小于45°的任意锐角。 第二种情况，如图3，当BD=BC时，∠BDC=x，∠ADB=180°-x＞90°。

此时只能有AD=BD，从而∠A=∠ABD=∠C＜∠C，这与题设∠C是最小的内角矛盾， ∴当∠C是底角时，BD=BC不成立。