一、内积
1.内积的定义：
①正定性：（a,a）≥0，等于0当时且仅当a=0；
②齐次性：（ka,b）=k的共轭(a,b);
③交换律：（a,b）=(b,a)取共轭；
④分配律双线性：
(a，k1b1+k2b2）=k1(a,b1)+k2(a,b2)
(k1a1+k2a2，b）=k1共轭(a1,b)+k2共轭(a2,b)
2.判断是不是内积：查看是否满足正定，齐次，交换。
例题：判断（a,b）=aTAb是不是内积。
如果不是，需要满足什么条件才可以变成内积。
①正定性：（a,a）≥0，那么A就必须正定。
②齐次性：满足，因为内积所得到的结果是一个数。
③交换：AT=A时，才满足交换律
综上：当且仅当A正定且对称时，（a,b）是内积。
二、向量
1.向量长度的性质：
①||a||≥0；
②||ka||=|k|||a||;
**③||a+b||≤||a||+||b||;(证明)
④||(a，b)||≤||a||||b||;(证明)**
2.向量之间的夹角：<a,b>=arccos(a,b)/||a||*||b|。
三、格拉姆矩阵
1.格拉姆矩阵（Gram）:利用a1,a2……,an N个向量构成一个N阶方阵。（aij=(ai,aj)）
利用格拉姆矩阵的行列式可以判断a1,a2……,an线性是否线性相关。
2.格拉姆矩阵的行列式等于0，a1,a2……,an线性相关。（充要条件）（证明）
3.基的格拉姆矩阵（度量矩阵）
不同基下的度量矩阵的转换。
4.特性：
①度量矩阵A是Hermite矩阵；
②（a,b）=xHAy;
③度量矩阵A是正定矩阵。
