第 l5卷第3期 Vo1．15№ 3 露} ， j> 瀹 大莘学报(自然 学版 l S’ JOURNAL OF YUZHOU UNIVERSITY(Nat．Scien．Edit．) 1998车 9月 Sep．1998 @ f ( r 欧氏空间的内积与线性变换’ 塞竖 移f 、 f (精州大学数学 与计算机科学幕 ，重 庆，4~ 33) 摘 要 获得了线性变换的一个等价条件 {利用内积或长度给出了欧氏空间的 变换为线性变换的一系列充分条件{进而得到正交变换、对称变换、反对称变换及共 轭变换的若干个充要条件．且推广了文[1～8]中的相关结果。 关键词一欧氏空间I变换}线性变 015 换 ；内积 1．21 引理 设 A是数域F上向量空间 的变换．则 A为 的线性变换的充耍条件是 V a， ∈ V．V ∈ 有 A(a+ )= + 妒 证明 必要性显然。充分性 ：由条件有 朋 A(口+ (一 1)69 = 朋 + (一 1)朋 ： 口 所 以 V口， ∈ V，V ∈ F 有 )一 口+ )= 朋 + = 口+ 带 A(a+ )= A(口+ 1· ； + 1· = + 由线性变换的定义知tA为 的线性变换． 定理 1 设 A鼠 为欧氏空问 的变换，若V口， ∈V，有 岛(T ，邵 )=n( ， + (口．,eie) 、 (n， ， ∈ f 那么 (1)当 ≠ 0时，r为 曲线性变换{ (2)当c ≠ 0时tA为 的线性变换； (3)当 ≠ 0时，B为 的线性变换。 证明 (1)当白≠ 0时，令 两= 百。，啦=c 。 ．则原等式化为t (Ta，7 ) 啦(^z， +毋(口，ae) 于是 ，V口， ∈ V，V ∈ R有 ( 口-t- )一Ta一 邓 ， 口-t-聊 一Ta一盯劭 '． ( 口-t- ， -I-盯 ))一 ( 口-t- )．Ta)一 ( 口"-F )，邵 )一 (Ta， 口+ ) + (n ITa)+ 敢? ，T 一 k(Ta，了 口+焉 )+量(丁 ，Ta)4- (邛 ． = m(A(口-t- )，口-t- 邓f)+ 毋( -t- ，B(a+ )一 m( 口+ )，口)一 一 熏 - ·收到=日期，1998-07-15 一 男 ·40岁，翻教授 ■●Tj ● 维普资讯 / 2 渝州大学学报 (白赫科学版) 摹 15卷 a2 + ，＆ )一 kal(^(口+ 即)，卢)一 概 (a+ ，邵 )一 al( ，口+ )一a2(a，B(a+ ))+ al( ，口)+ (a，印 )+ kal( ， )+ (口，邵 )一蛔 ( ， + 即)一 ka2( 联Oi+ ))+ ( ，d)+ 概 (卢，髓)+ k2al(邓 ，卢)+ 嘞( ，旦∞ ： 0 所 以 T(a+ )一 一 盯 = 0 即 T(a+ )= Ta= 材 故 由引理知 ；丁为 y的线性变换 (2)当C1≠ 0时，夸 =c3i：i-，62=一 c2~i- ，则原等式化为 ： ， ( ，卢)； (如 ，邛 )+ (口，印 ) 于是，V a， y∈ ，V ∈ R有 (A(口+ )一 一 ^ 驴 " = ( 口+ ^ ，" 一 ( ，" 一 ( 啦，” = ． 6l(7 a+ )， 0 + (口+ ， ， 一 (T ，丁y)一 ( ，聊 一 硒 (邳 ，71y)一 如 ( ，研 = ． ( 口+ )一 — kT#，丁y)+ ( ． ，= 岛( =0 (由(1)h≠ p时。 为 的线性变换) 所以由y的任意性知： ^(珥+
