研究生入学考试题欧氏空间.doc
研究生入学考试题—欧氏空间
－010－7在欧氏空间中，已知，则 ，与的夹角为 (内积按通常的定义)。
－010－12 (15分)设是n维欧氏空间V中的一个单位向量，定义V上的变换如下：，其中表示与的内积，证明：
是V上的正交变换；
V中存在一组标准正交基使得
－010－13 (18分)已知矩阵，
(1)求A的逆；
(2)求A的初等因子；
(3)求A的若当标准形。
－011－7(24分)设A是可逆的n阶方阵，求证：存在正交阵T和对角线元素全是正实数的下三角阵U，使得A=UT；并且这个表达式是唯一的。
－012－5(12分)证明：奇数维欧式空间中的旋转变换(第一类正交变换)一定有特征值1。
00102 设是欧氏空间的一个变换.试证：如果保持内积不变，即对于中任意两个向量都有
那么，它一定是线性的，而且是正交的。
00207 设与 是维欧氏空间中两个向量组，满足这里表示内积，试证存在正交变换使
00310 设是维欧氏空间的对称变换(即是的线性变换，且对任意都有)，证明：的像子空间是的核子空间的正交补子空间。
013-1-4设为欧氏空间,则有柯西-施瓦茨不等式: .
013-1-5在欧氏空间中,向量,则与的长度分别为 ,它们的夹角为 .
013-1-6已知是欧氏空间的一组标准正交基,则向量在这组基下的坐标为 .
013-6对给定的n阶实满秩矩阵A,设计一种方法,实现矩阵的正交三角分解QR分解,即找出一个正交矩阵Q与一个三角矩阵R,使得A=QR并对矩阵A=,求其QR分解.
016-3．正交矩阵的实特征值为1，-1.
016-5如果是n维欧氏空间V的线性无关的向量组，那么，存在一个向量使得
00505已知实对称矩阵，求正交矩阵P使得成为对角矩阵。
00506设V是n维欧氏空间，内积记为，又设T是V的一个正交变换，记试证明：(1)都是V的子空间；(2)。
00508设是n维欧氏空间V的子空间，且的维数小于的维数。证明：中必有一非零向量正交于中的一切向量。
0060109设，则向量y的长度
0060202设是5维的Euclid空间的一组标准正交基，，其中，求的一组标准正交基。
00705设是具有通常内积的欧氏空间，W是的子空间.
如W是下列方程组
的解空间，求W＝？W在的正交补
(2)求W和的标准正交基
00707设V是实数域R上的n维线性空间，是V的子空间且
如分别是与上的内积，证明：存在V上的内积满足
满足(1)中的内积是否唯一，为什么？
0090301证明题在欧氏空间V中两个向量的距离定义为的长度，记为，证明：
当时，
对任意向量
0090402设V是n维欧氏空间，n3, 给定非零向量，令
证明：(1)是正交变换
(2)如果是正交基，则存在不全为零实数使得是V上的恒等变换。
