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(选修4-1 几何证明选讲)已知O为△ABC外接圆的圆心 AE是圆的直径 AD⊥BC BF⊥AC

时间:2022-02-03 22:38:50

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(选修4-1 几何证明选讲)已知O为△ABC外接圆的圆心 AE是圆的直径 AD⊥BC BF⊥AC

问题补充:

(选修4-1,几何证明选讲)已知O为△ABC外接圆的圆心,AE是圆的直径,AD⊥BC,BF⊥AC,D,F为垂足,AD、BF相交于点H,OP⊥AB,垂足为P.

(1)求证:AB?AC=AE?AD;

(2)求证:CH=2OP.

答案:

证明:(1)连接BE,

因为AE是直径,所以AB⊥BE,

又AD⊥BC,∠AEB=∠ACD,

所以Rt△ABE∽Rt△ADC.

∴,∴AB?AC=AE?AD.

(2)连接CE,则CE⊥AC,又BH⊥AC,∴BH∥CE.

∵BH⊥AC,AH⊥BC,所以H为△ABC的垂心.

CH⊥AB,EB⊥AB,∴BE∥CH

所以四边形BECH为平行四边形,∴CH=BE.

∵OP⊥AB,EB⊥AB,∴OP∥BE.

又O为AE的中点.∴OP=BE,∴OP=CH.

∴CH=2OP.

解析分析:(1)利用AE是直径,可得AB⊥BE,再利用AD⊥BC,∠AEB=∠ACD即可证明Rt△ABE∽Rt△ADC,进而证得结论.(2)先利用CE⊥AC以及BH⊥AC,得BH∥CE,进而得BH⊥AC,AH⊥BC,证得H为△ABC的垂心,再利用CH⊥AB,EB⊥AB得四边形BECH为平行四边形?CH=BE,最后利用OP⊥AB,EB⊥AB,得OP∥BE,再利用O为AE的中点即可证明结论.

点评:一般在证明线段之间的乘积关系时,其常用方法是利用相似三角形的性质来证明.

(选修4-1 几何证明选讲)已知O为△ABC外接圆的圆心 AE是圆的直径 AD⊥BC BF⊥AC D F为垂足 AD BF相交于点H OP⊥AB 垂足为P.(1)求证

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