问题补充:
如图,已知AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,OC与⊙O相交于点D,连接AD并延长交BC于点E,BC=3,CD=2
(1)求⊙O的半径.
(2)取BE的中点F,连接DF,求证:DF是⊙O的切线.
(3)过点D作DG⊥BC,垂足为G,OE与DG相交于点M,连接BM并延长,与OC相交于点N,试确定以N为圆心,经过点E的⊙N与⊙O的位置关系(说明理由),并求出⊙N的半径.
答案:
解:(1)∵AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,∴AB⊥BC,
设⊙O的半径为r,
在Rt△OBC中,
OC2=OB2+CB2,
∴(r+2)2=r2+32
解得:r=,(1分)
∴⊙O;
(2)如图,连接OF.
∵AO=OB,BF=EF,
∴OF∥AE,
∴∠1=∠A,∠2=∠ADO,
又∵OA=OD,∴∠A=∠ADO,
∴∠1=∠2,
又∵OB=OD,OF=OF,
∴△OBF≌△ODF(1分)
∴∠ODF=∠OBF=90°,即DF⊥OD(1分)
∵OD是半径,
∴DF是⊙O的切线;
(3)⊙O与⊙N外切.
理由如下:如图,连接NE,
∵DG⊥BC,AB⊥BC,
∴DG∥AB,
∴=,,
又∵AO=OB,∴,
∴NE∥AB,
∴,又DM∥OB,
∴,∴
∵OB=OD,∴NE=ND,
∴圆心距ON等于⊙N的半径与⊙O的半径的和,
∴⊙O与⊙N外切.
设⊙N的半径为x,
∵NE∥AB,
∴,即,
∴,
∴⊙N的半径为.
解析分析:(1)由AB是圆O的直径,BC为圆O的切线,根据切线性质得到AB与BC垂直,设圆O的半径为r,在直角三角形OBC中,由OC=r+2,OB=r,CB=3,利用勾股定理列出关于r的方程,求出方程的解即可得到r的值;(2)连接OF,由OA=OB,BF=EF,得到OF为三角形ABE的中位线,根据中位线定理得到OF与AE平行,由平行得到∠1=∠A,∠2=∠ADO,又半径OA=OD,根据等边对等角得到∠A=∠ADO,等量代换得到∠1=∠2,由OB=OD,且OF为公共边,利用“SAS”的方法得到两三角形全等,得到∠ODF=∠OBF=90°,即DF⊥OD,得证;(3)两圆的位置关系是外切.理由是:连接NE,由两直线与同一条直线垂直,得到DG与与AB平行,根据平行线得线段对应成比例,由OA=OB,等量代换后利用比例式得到NE与AB平行,再根据DM与OB平行,同理得到比例式,且等量代换后,得到NE=ND,即圆心距ON等于两半径相加,故两圆位置关系为外切;设出圆N的半径为r,由NE平行于AB,得到比例式,代入后列出关于r的方程,求出方程的解即可得到r的值.
点评:此题综合考查了切线的性质与判断,两圆位置关系的判别方法,全等三角形的判别与性质以及平行分线段成比例.其中证明切线的方法有两种:1、已知点,连接此点与圆心,证明夹角为直角;2、未知点,过圆心作垂线,证明垂线段等于半径.圆与圆位置关系的判别方法是:(R,r为两圆的半径,d为两圆心间的距离)当0≤d<R-r时,两圆的位置关系为内含;当d=R-r时,两圆的位置关系是内切;当R-r<d<R+r时,两圆的位置关系是相交;当d=R+r时,两圆的位置关系是外切;当d>R+r时,两圆的位置关系是外离.
如图 已知AB是⊙O的直径 BC是⊙O的切线 OC与⊙O相交于点D 连接AD并延长交BC于点E BC=3 CD=2(1)求⊙O的半径.(2)取BE的中点F 连接DF