问题补充:
如图,在平面直角坐标系xOy中,已知⊙O半径为1,且与两坐标轴分别交于A、B、C、D四点.过点A和点C分别作⊙O的切线MA、NC,它们分别与直线y=x交于点M、N,
(1)写出点M、D、N的坐标;
(2)抛物线过点M、D、N,它的对称轴交x轴于点E,连接DE,并延长DE交圆O于F,求cos∠BDF的值与EF的长.
(3)探索:将⊙O作怎样的平移,才能使⊙O与x轴相切且它的圆心O在抛物线上.
答案:
解:(1)∵⊙O半径为1,
∴D(0,1),
∵过点A和点C分别作⊙O的切线MA、NC,它们分别与直线y=x交于点M、N,
CO=1,AO=1,
∴M(-1,-1)、N(1,1);
(2)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c.
∵点D、M、N在抛物线上.
∴得:,
解之,得:,
∴抛物线的解析式为:y=-x2+x+1.
∵,
∴抛物线的对称轴为,
∴.
连接BF,∠BFD=90°,
∴,
又,
∴,
∴.
在直角三角形DOE中,cos∠BDF=.
(3)∵⊙O半径为1,平移后的⊙O要与x轴相切且它的圆心O在抛物线上,
∴平移后的圆心O必在平行于x轴且到x轴的距离为1的直线与抛物线的交点上
当平移后的圆心O在x轴的上方时,可设平移后的圆心O′的坐标为(m,1).
则-m2+m+1=1,
解得m1=0,m2=1,
∴O′的坐标为(0,1)或(1,1)
当平移后的圆心O在x轴的下方时,可设平移后的圆心O″的坐标为(n,-1).
则-n2+n+1=-1,
解得n1=-1,n2=2,
∴O″的坐标为(-1,-1)或(2,-1)
∴①将⊙O沿着y轴的正方向平移1个单位,能使⊙O与x轴相切且它的圆心O在抛物线上;
②将⊙O沿着y轴的正方向平移1个单位后,再沿着x轴的正方向平移1个单位(或将⊙O沿着直线y=x的向上方向平移个单位),能使⊙O与x轴相切且它的圆心O在抛物线上;
③将⊙O沿着y轴的负方向平移1个单位后,再沿着x轴的负方向平移1个单位,(或将⊙O沿着直线y=x的向下方向平移个单位)能使⊙O与x轴相切且它的圆心O在抛物线上;
④将⊙O沿着y轴的负方向平移1个单位后,再沿着x轴的正方向平移2个单位,(或将⊙O沿着直线的向下方向平移个单位)能使⊙O与x轴相切且它的圆心O在抛物线上;
解析分析:(1)根据⊙O半径为1,得出D点坐标,再利用CO=1,AO=1,点M、N在直线y=x上,即可求出
如图 在平面直角坐标系xOy中 已知⊙O半径为1 且与两坐标轴分别交于A B C D四点.过点A和点C分别作⊙O的切线MA NC 它们分别与直线y=x交于点M N (