问题补充:
已知函数f(x)=x2+ax+c,g(x)=lnx+c,a,c∈R;
(1)令F(x)=f(x)-g(x),①若函数F(x)在[1,2]上是减函数,求实数a的取值范围;
②若G(x)=F(x)-x2,是否存在正实数a,当x∈(0,e](e是自然对数的底数)时,函数G(x)的最小值是3,若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.
(2)若对?x1,x2∈R,且x1<x2,f(x1)≠f(x2),试证明?x0∈(x1,x2),使成立.
答案:
解:(1)①∵F(x)=f(x)-g(x)=x2+ax+c-lnx-c=x2+ax-lnx,
∴,
∵函数F(x)在[1,2]上是减函数,
∴当x∈[1,2]时,恒成立,即恒成立,
又,
∴a∈;
②由G(x)=F(x)-x2=x2+ax-lnx-x2=ax-lnx,
由<0,得x<,若,则G(x)在(0,e]上为减函数,此时G(x)min=ae-1,
由ae-1=3,得a=(舍);若,则函数G(x)在(0,)上为减函数,在(,e)上为增函数,
所以,由,得a=e2
所以存在a=e2,使函数G(x)的最小值是3.
(2)令,
则,,
∴∴g(x)=0,
在(x1,x2)内必有一个实根.即?x0∈(x1,x2),使成立.
解析分析:(1)①求出函数F(x),由导函数在[1,2]上小于等于0恒成立,采用分离变量求a的范围;②求出函数G(x),求其导函数,分最小值在不在给定的区间两种情况讨论a的存在性;
(2)构造函数,判出g(x1)?g(x2)<0,则说明?x0∈(x1,x2),使成立.
点评:本题(1)考查了利用函数的导函数判断函数的单调性以及函数零点的判断,考查了运用导函数的符号判断函数单调性的方法,同时考查了分类讨论的数学思想;
(2)考查了函数零点的判定,判断函数在某区间内有零点,只要满足区间两端点处的函数值的乘积小于0即可.
已知函数f(x)=x2+ax+c g(x)=lnx+c a c∈R;(1)令F(x)=f(x)-g(x) ①若函数F(x)在[1 2]上是减函数 求实数a的取值范围;