问题补充:
解答题已知函数f(x)=ax(a∈R),g(x)=lnx-1.
(1)若函数h(x)=g(x)+1-f(x)-2x存在单调递减区间,求a的取值范围;
(2)当a>0时,试讨论这两个函数图象的交点个数.
答案:
解:(1)h(x)=lnx--2x(x>0),
h′(x)=-ax-2.
若使h(x)存在单调递减区间,则h′(x)=-ax-2<0在(0,+∞)上有解.
而当x>0时,-ax-2<0?ax>-2?a>-问题转化为
a>在(0,+∞)上有解,故a大于函数在(0,+∞)上的最小值.
又=-1,在(0,+∞)上的最小值为-1,所以a>-1.
(2)令F(x)=f(x)-g(x)=ax-lnx+1(a>0)
函数f(x)=ax与g(x)=lnx-1的交点个数即为函数F(x)的零点的个数.
F′(x)=a-(x>0)
令F(x)=a-=0解得x=.
随着x的变化,F(x),F(x)的变化情况如表:
(7分)
①当F=2+lna>0,即a=e-2时,F(x)恒大于0,函数F(x)无零点.(8分)
②当F=2+lna=0,即a=e-2时,由上表,函数F(x)有且仅有一个零点.
③F=2+lna<0,即0<a<e-2时,显然1<
F(1)=a+1>0,所以F(1)F<0?,
又F(x)在(0,)内单调递减,
所以F(x)在(0,)内有且仅有一个零点
当x>时,F(x)=ln
由指数函数y=(ea)x(ea>1)与幂函数y=x增长速度的快慢,知存在x0>
使得从而F(x0)=ln
因而F?F(x0<0)
又F(x)在(,+∞)内单调递增,
F(x)在[,+∞)上的图象是连续不断的曲线,
所以F(x)在(,+∞)内有且仅有一个零点.
因此,0<a<e-2时,F(x)有且仅有两个零点.
综上,a>e-2,f(x)与g(x)的图象无交点;
当a=e-2时,f(x)与g(x)的图象有且仅有一个交点;
0<a<e-2时,f(x)与g(x)的图象有且仅有两个交点.解析分析:(1)先求出函数h′(x),欲使h(x)存在单调递减区间,则h′(x)<0在(0,+∞)上有解,然后利用分离法可得a>在(0,+∞)上有解,故a大于函数在(0,+∞)上的最小值即可.(2)先令F(x)=f(x)-g(x)=ax-lnx+1(a>0),函数f(x)=ax与g(x)=lnx-1的交点个数即为函数F(x)的零点的个数,利用导数研究函数F(x)的最小值,比较最小值与0的大小即可得到F(x)的零点的个数.点评:本题主要考查了利用导数研究函数的单调性,函数的零点与方程根的关系等基础题知识,考查了转化和划归的数学思想,属于中档题.