问题补充:
如图:在平面直角坐标系中,直线与x轴、y轴分别交于A、B两点,直线y=kx+8与直线AB相交于点D,与x轴相交于点C,过D作DE⊥x轴,E为垂足,E点的横坐标为2.
(1)求直线CD的解析式;
(2)若点P为x轴上一点,P点的坐标为(t,0),过P作x轴的垂线,交直线AB于点Q,边Q点作x轴的平行线交直线CD于点M,设线段QM的长为y,当-6<t<2时,求y与t的函数关系式;
(3)在(2)的条件下,当t为何值时,过P、Q、M三点的圆与直线AB和直线CD这两条直线只有三个公共点.
答案:
解:(1)如图,∵,
∴当x=2时,y=4,
∴D(2,4),
把D(2,4)代入y=kx+8中,得
4=2k+8,
解得,k=-2,
故直线CD的解析式为y=-2x+8;
(2)∵P点的坐标为(t,0),
∴Q点的坐标为(t,t+3),
∵QM∥x轴,
∴M点的纵坐标为t+3,
∴M点的横坐标为-t+,
∴y=-t+-t,即y=-t+;
(3)由直线AB、CD的解析式得:OB=3 OA=6 OC=4
∵D(2,4)
∴CE=2 DE=4
如图1,tan∠BAO=tan∠CDE=
∴∠BAO=∠CDE
∴∠ADC=∠ADE+∠BAO=90°
设过P、Q、M的三点的圆为⊙O′
∵PQM为直角三角形
∴PM为直径
设⊙O′与x轴交于H,MH⊥AC,四边形PQMH为矩形
如图2,当⊙O′与直线CD相切时PM⊥CD
∴∠ADC=∠PMC=90°
∴PM∥AB
又∵QM∥AC
∴四边形AQMP为平行四边形
∴AP=QM
即:-t+=t+6
得:t=-
∵QA=MP=QH
∴∠O′QD=2∠QAC
∵∠QAC≠45°
∴∠O′QD≠90°,
过O′作O′N⊥AD于N
则O′Q>O′N
∴⊙O′与直线AB相交
∴此时⊙O′与直线AB和直线CD这两条直线只有三个公共点.
如图3,当⊙O′与直线AB相切时,
同理可得四边形QMCH为平行四边形,QM=CH=PH
∴AP+2QM=10
即t+6+2(-t+)=10
解得:t=
同理,过O′作O′T⊥CD于T,
则O′Q=O′M>OT
∴此时⊙O′与直线CD相交,
∴当t=时,过P、Q、M三点的圆与直线AB和直线CD这两天直线只有三个公共点;
若⊙O′经过点D,
∵PM是直径,
∴∠PDM=90°,
∵-6<t<2
∴PDM<90°(不符合题意)
∴⊙O′不经过点D,
综上所述:t=或t=时,过P、Q、M三点的圆与直线AB和直线CD这两天直线只有三个公共点.
解析分析:(1)首先求得点D的坐标,然后代入到函数y=kx+8中即可求得k值,从而求得函数的解析式;
(2)根据P点的坐标表示出点Q的坐标,然后根据QM∥x轴表示出点M的坐标,从而求得函数的解析式;
(3)根据直线AB、CD的解析式求得线段OB、OA、OC的长,再根据点D的坐标求得线段CE和线段DE的长,设过P、Q、M的三点的圆为⊙O′,⊙O′与x轴交于H,MH⊥AC,四边形PQMH为矩形,然后分当⊙O′与直线CD相切时和当⊙O′与直线AB相切时求得t值即可.
点评:本题考查了一元函数的应用及矩形的性质,考查的知识点虽然不多,但是本题的难度可见一斑,解题的关键是对圆与不同的直线相切进行分类讨论,从而求得未知数的值.
如图:在平面直角坐标系中 直线与x轴 y轴分别交于A B两点 直线y=kx+8与直线AB相交于点D 与x轴相交于点C 过D作DE⊥x轴 E为垂足 E点的横坐标为2.(