问题补充:
如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD是梯形,BC∥AD,∠BAD+∠CDA=90°,且tan∠BAD=2,AD在x轴上,点A的坐标(-1,0),点B在y轴的正半轴上,BC=OB.
(1)求过点A、B、C的抛物线的解析式;
(2)动点E从点B(不包括点B)出发,沿BC运动到点C停止,在运动过程中,过点E作EF⊥AD于点F,将四边形ABEF沿直线EF折叠,得到四边形A1B1EF,点A、B的对应点分别是点A1、B1,设四边形A1B1EF与梯形ABCD重合部分的面积为S,F点的坐标是(x,0).
①当点A1落在(1)中的抛物线上时,求S的值;
②在点E运动过程中,求S与x的函数关系式.
答案:
解:(1)∵点A坐标是(-1,0),
∴OA=1,
在△ABO中∠AOB=90°tanA==2,
∴OB=2.
∴点B的坐标是(0,2).
∵BC∥AD,BC=OB,
∴BC=2,
∴点C的坐标是(2,2).
设抛物线表达式为y=ax2+bx+2,由题意,得
∴
∴解得
∴y=-x2+x+2.
(2)①当点A1落在抛物线上,根据抛物线的轴对称性可得A1与点A关于对称轴对称,
由沿直线EF折叠,所以点E是BC上一个点,
重合部分面积就是梯形ABEF的面积.
∴S=S梯形ABEF=(BE+AF)×BO=2+1=3;
②当0<x≤1时,重合部分面积就是梯形ABEF的面积,
由题得AF=x+1,BE=x,
S=S梯形ABEF=(BE+AF)×BO=2x+1.
当1<x≤2时,重合部分面积就是五边形A1NCEF的面积,
设A1B1交CD于点N,作MN⊥DF于点M,CK⊥AD于点K,
∴∠CKD=∠NMD=90°
由轴对称得:∠1=∠2,
∵∠2+∠3=90°,
∴∠1+∠3=90°,
∠3+∠MND=90°
∴∠MND=∠1
△NMA1∽△DMN,=,
∵∠BAO=∠MA1N,tan∠BAO=2,
∴tan∠MA1N=2=.
∴2MA1=MN,MD=2MN.
∴MD=4MA1,
∴DA1=3MA1
∵tan∠BAO=2,∠BAO+∠CDK=90°,
∴tan∠CDK=.
在△DCK中,∠CKD=90°,CK=OB=2,
tan∠CDK==,
∴DK=4,OD=6.
∵OF=x,A1F=x+1,
∴A1D=OD-OF-A1F=5-2x,FD=6-x.
∴3MA1=5-2x,
∴MA1=(5-2x)
∵2MA1=MN
∴MN=(5-2x).
∴S=S梯形DCEF-S△A1ND=8-2x-(5-2x)2=-x2+x-.
解析分析:(1)根据条件先求出B点和C点的坐标,再利用待定系数法就可以求出过点A、B、C的抛物线的解析式.
(2)①根据抛物线的对称性可以知道当点A1落在抛物线上A1与点A关于对称轴对称,重合部分面积就是梯形ABEF的面积.从而求出S的值.
②从0<x≤1和当1<x≤2两种情况分别把点E在运动的过程中重叠部分的面积表示出来,当0<x≤1时重叠部分的面积就是梯形ABEF的面积,当1<x≤2时,重叠部分的面积就是一个五边形的面积.就是一个梯形的面积减去一个三角形
的面积就可以了.
点评:本题是一道二次函数的综合试题,考查了待定系数法求函数的解析式,梯形的面积公式,动点问题在函数解析式中的运用.相似三角形的判定及性质的运用.
如图 在平面直角坐标系中 四边形ABCD是梯形 BC∥AD ∠BAD+∠CDA=90° 且tan∠BAD=2 AD在x轴上 点A的坐标(-1 0) 点B在y轴的正半轴