问题补充:
已知⊙O的直径AB与弦CD互相垂直,垂足为点E.⊙O的切线BF与弦AD的延长线相交于点F,且AD=,sin∠BCD=.
(1)求证:CD∥BF;
(2)求弦CD的长;
(3)求⊙O的半径.
答案:
(1)证明:
∵BF是⊙O的切线,
∴AB⊥BF,
∵AB⊥CD,
∴CD∥BF;
解:(2)∵∠BCD=∠BAD,
∴sin∠DAE=sin∠BCD=,AD=,
∴=,
∵AD=,
∴DE=,
∵AE⊥DE,
∴CE=DE,
∴CD=2ED=;
(3)连结BD,
∵AB是直径,
∴∠ADB=90°,
∴sin∠BAD=,
∴AB=BD,
∵AD=,
由勾股定理得BD=6,AB=8,
∴⊙O的半径为4.
解析分析:(1)由BF是⊙O的切线得到AB⊥BF,而AB⊥CD,由此即可证明CD∥BF;
(2)根据圆周角定理可得∠A=∠BCD,由于sin∠BCD=,所以sin∠A=,而AD=2,由此求出DE也就求出了CD;
(3)连接BD,由AB是直径得到∠ADB=90°,而∠BCD=∠BAD,所以sin∠BAD=,再利用勾股定理即可求出AB,进而求出圆的半径.
点评:本题考查了圆的切线性质,勾股定理的运用及解直角三角形的知识.运用切线的性质来进行计算或论证,常通过作辅助线连接圆心和切点,利用垂直构造直角三角形解决有关问题.
已知⊙O的直径AB与弦CD互相垂直 垂足为点E.⊙O的切线BF与弦AD的延长线相交于点F 且AD= sin∠BCD=.(1)求证:CD∥BF;(2)求弦CD的长;(3