问题补充:
如图,在等腰梯形ABCE中,BC∥AE且AB=BC,以点E为坐标原点建立平面直角坐标系,若将梯形ABCD沿AC折叠,使点B恰好落在x轴上点D位置,过C、D两点的直线与y轴交于点F.
(1)试判断四边形ABCD是怎样的特殊四边形,并说明你的理由;
(2)如果∠BAE=60°,AB=2cm,那么在y轴上是否存在一点P,使以P、D、F为顶点的三角形构成等腰三角形,若存在,请求出所有可能的P点坐标,若不存在,请说明理由;
(3)在(2)的条件下,若将△EDF沿x轴正方向以1cm/s的速度平移到点E与点A重合时为止,设△EDF在平移过程中与△ECA重合部分的面积为S,平移的时间为x秒,试求出S与x之间的函数关系式及自变量范围,并求出何时S有最大值,最大值是多少?
答案:
解:(1)四边形ABCD为菱形.
理由如下:因为点B和点D关于直线AC对称所以AB=AD,BC=DC.由AB=BC得AB=BC=DA=AB,所以四边形ABCD为菱形.
(2)因为四边形ABCD为菱形,所以DF∥AB,所以∠CDE=∠CED=60°,所以△CDE为等边三角形,所以DE=CD=AB=2cm.在Rt△DEF中,DF=DEcos60°=2cos60°=4cm.
①如果以F为顶点,即FP=FD时,P点坐标为(0,4+2),(0,2-4);
②如果以P为顶点,即PF=PD时,P点坐标为(0,);
③如果以D为顶点,即DF=DP时,P点坐标为(0,-2).
综上所述,P点坐标为(0,4+2),(0,2-4),(0,),(0,-2).
(3)
由(2)可得,AE=DE+AD=4cm,则DE=2,AD=2
①设△DEF平移到△D′E′F′,则EE′=x,E′A=4-x,AD=AE′-E′D′=4-x-2=2-x,
可得S△A′ME′=(4-x)2,S△AD′N=(2-x)2,
则S=S△A′ME′-S△AD′N=(4-x)2-(2-x)2(0≤x≤1);
②设△DEF平移到△D′E′F′,则EE′=x,E′M=x,AD=AE-DE′-EE′=4-2-x=2-x
可得S△EME′=x2
S△AD′N=(2-x)2,
则S=S△AME-S△EME′-S△AD′N=x2-(2-x)2=-(1≤x≤2)
当x=-=,则当x=1时,S有最大值是:(2-1)2=;
③设△DEF平移到△D′E′F′,则EE′=x,AE′=4-x,
可得S=S△A′ME′=(4-x)2(2≤x≤4).
解析分析:(1)由已知易得AB=BC=DA=AB,所以四边形ABCD为菱形.
(2)若△PDF等腰三角形DF可能为腰,分别讨论找出相关系并求出坐标进行判断.
(3)由(2)可得,AE=DE+AD=4cm,则DE=2,AD=2,设△DEF平移到△D′E′F′,则EE′=x,E′M=x,AD=AE-D′E′-EE=4-2-x=2-x,可得S△EME′=x2,S△AD′N=(2-x)2,则S=S△ADE-S△EME′-S△AD′N,代入整理可得S与x的解析式,根据二次函数的性质求得最大值即可.
点评:本题考查梯形,菱形、直角三角形、二次函数的相关知识的理解及运用,综合性强,做题时要注意知识点之间的联系.
如图 在等腰梯形ABCE中 BC∥AE且AB=BC 以点E为坐标原点建立平面直角坐标系 若将梯形ABCD沿AC折叠 使点B恰好落在x轴上点D位置 过C D两点的直线与