问题补充:
如图,已知:△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,分别过B,C向经过点A的直线EF作垂线,垂足为E,F.
(1)当EF与斜边BC不相交时,请说明EF=BE+CF(如图1).
(2)如图2,EF与斜边BC相交时,其他条件不变,你能得到什么结论?请说明理由?
答案:
(1)证明:∵BE⊥EA,CF⊥AF,
∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°,
∴∠EAB+∠CAF=90°,∠EBA+∠EAB=90°,
∴∠CAF=∠EBA,
在△ABE和△CAF中,
∠BEA=∠AFC=90°,∠EBA=∠CAF,AB=AC,
∴△BEA≌△AFC.
∴EA=FC,BE=AF.
∴EF=EA+AF=BE+CF.
(2)结论:EF=BE-CF,
理由是:∵BE⊥EA,CF⊥AF,
∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°,
∴∠EAB+∠CAF=90°,∠ABE+∠EAB=90°,
∴∠CAF=∠ABE,
在△ABE和△ACF中,
∠BEA=∠AFC=90°,∠EBA=∠CAF,AB=AC,
∴△BEA≌△AFC.
∴EA=FC,BE=AF.
∵EF=AF-AE,
∴EF=BE-CF.
解析分析:(1)根据已知条件容易证明△BEA≌△AFC,然后利用对应边相等就可以证明题目的结论;
(2)根据(1)知道△BEA≌△AFC仍然成立,则BE=AF,AE=CF,就可以求出EF=BE-CF.
点评:本题主要考查了全等三角形的性质与判定,利用它们解决问题,经常用全等来证线段和的问题.
如图 已知:△ABC中 AB=AC ∠BAC=90° 分别过B C向经过点A的直线EF作垂线 垂足为E F.(1)当EF与斜边BC不相交时 请说明EF=BE+CF(如