问题补充:
解答题已知函数f(x)=-2sinx?cosx+2cos2x+1.
(1)设方程f(x)-1=0在(0,π)内有两个零点x1,x2,求x1+x2的值;
(2)若把函数y=f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位使所得函数的图象关于点(0,2)对称,求m的最小值.
答案:
解:(1)由题设f(x)=-sin2x+1+cos2x+1=cos(2x+)+2,…(2分)
∵f(x)-1=0,∴cos(2x+)+1=0,…(3分)
∴cos(2x+)=-.…(4分)
由2x+=2kπ+π或2x+=2kπ+π,k∈Z,求得x=kπ+或x=kπ+.…(5分)
∵x∈(0,π),∴x1=,x2=,∴x1+x2=π.…(6分)
(2)设y=f(x)的图象向左平移m个单位,得到函数g(x)的图象,则g(x)=cos(2x++2m)+2,…(8分)
∵y=g(x)的图象关于点(0,2)对称,
∴2m+=kπ+,k∈Z.…(10分)
∴2m=kπ+,k∈Z.
∴m=+,k∈Z.…(11分)
∵m>0,
∴k=0时,m取得最小值.…(12分)解析分析:(1)利用三角函数的恒等变换化简f(x)的解析式为cos(2x+)+2,由f(x)-1=0求得cos(2x+)=-,再根据x∈(0,π),求得x1和x2的值,即可求得x1+x2的值.(2)设y=f(x)的图象向左平移m个单位,得到函数g(x)的图象,根据y=g(x)的图象关于点(0,2)对称,求得mm=+,k∈Z,从而求得m的最小值.点评:本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值,函数y=Asin(ωx+?)的图象变换规律,余弦函数的对称性,属于基础题.