三角函数诱导公式及记忆口诀

初中数学 | 三角函数诱导公式及记忆口诀

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常用的诱导公式有以下几组：

公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：

sin（2kπ＋α）＝sinαcos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋α）＝tanαcot（2kπ＋α）＝cotα

公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：

sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotα

公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：

sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα

公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：

sin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotα

公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：

sin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotα

公式六：π/2±α与α的三角函数值之间的关系：

sin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanαsin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanα

诱导公式记忆口诀

※规律总结※上面这些诱导公式可以概括为：

对于k·π/2±α(k∈Z)的个三角函数值

①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；②当k是奇数时，即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan. （奇变偶不变）然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。（符号看象限）

例如：sin(2π－α)＝sin(4·π/2－α)，k＝4为偶数，所以取sinα。

当α是锐角时，2π－α∈(270°，360°)，sin(2π－α)＜0，符号为“－”。

所以sin(2π－α)＝－sinα上述的记忆口诀是：奇变偶不变，符号看象限。公式右边的符号为把α视为锐角时，角k·360°+α（k∈Z），-α、180°±α，360°-α所在象限的原三角函数值的符号可记忆水平诱导名不变；符号看象限。

各种三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀“一全正；二正弦；三为切；四余弦”．这十二字口诀的意思就是说：第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“＋”；第二象限内只有正弦是“＋”，其余全部是“－”；第三象限内切函数是“＋”，弦函数是“－”；第四象限内只有余弦是“＋”，其余全部是“－”．上述记忆口诀,一全正,二正弦,三正切,四余弦

三角函数的诱导公式是指三角函数中，利用周期性将角度比较大的三角函数，转换为角度比较小的三角函数的公式。三角函数的诱导公式有六组，共54个。

设α为任意锐角，弧度制下的角的表示：

sin (α+k·360°)=sinα（k∈Z）.

cos(α+k·360°)=cosα（k∈Z）.

tan (α+k·360°)=tanα（k∈Z）.

cot（α+k·360°）=cotα （k∈Z）.

sec（α+k·360°）=secα （k∈Z）.

csc（α+k·360°）=cscα （k∈Z）.

π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系。

设α为任意角，弧度制下的角的表示：

sin（π+α）=－sinα.

cos（π+α）=－cosα.

tan（π+α）=tanα.

cot（π+α）=cotα.

sec（π+α）=－secα.

csc（π+α）=－cscα.

角度制下的角的表示：

sin（180°+α）=－sinα.

cos（180°+α）=－cosα.

tan（180°+α）=tanα.

cot（180°+α）=cotα.

sec（180°+α）=－secα.

csc（180°+α）=－cscα.

任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：

sin（－α）=－sinα.

cos（－α）=cosα.

tan（－α）=－tanα.

cot（－α）=－cotα.

sec（－α）=secα.

csc (－α）=－cscα.

利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：

弧度制下的角的表示：

sin（π－α）=sinα.

cos（π－α）=－cosα.

tan（π－α）=－tanα.

cot（π－α）=－cotα.

sec（π－α）=－secα.

csc（π－α）=cscα.

角度制下的角的表示：

sin（180°－α）=sinα.

cos（180°－α）=－cosα.

tan（180°－α）=－tanα.

cot（180°－α）=－cotα.

sec（180°－α）=－secα.

csc（180°－α）=cscα.

利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：

弧度制下的角的表示：

sin（2π－α）=－sinα.

cos（2π－α）=cosα.

tan（2π－α）=－tanα.

cot（2π－α）=－cotα.

sec（2π－α）=secα.

csc（2π－α）=－cscα.

角度制下的角的表示：

sin（360°－α）=－sinα.

cos（360°－α）=cosα.

tan（360°－α）=－tanα.

cot（360°－α）=－cotα.

sec（360°－α）=secα.

csc（360°－α）=－cscα.

π/2±α 及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：（⒈～⒋）

⒈π/2+α与α的三角函数值之间的关系

弧度制下的角的表示：

sin（π/2+α）=cosα.

cos（π/2+α）=—sinα.

tan（π/2+α）=－cotα.

cot（π/2+α）=－tanα.

sec（π/2+α）=－cscα.

csc（π/2+α）=secα.

角度制下的角的表示：

sin（90°+α）=cosα.

cos（90°+α）=－sinα.

tan（90°+α）=－cotα.

cot（90°+α）=－tanα.

sec（90°+α）=－cscα.

csc（90°+α）=secα.

⒉ π/2－α与α的三角函数值之间的关系

弧度制下的角的表示：

sin（π/2－α）=cosα.

cos（π/2－α）=sinα.

tan（π/2－α）=cotα.

cot（π/2－α）=tanα.

sec（π/2－α）=cscα.

csc（π/2－α）=secα.

角度制下的角的表示：

sin (90°－α)=cosα.

cos (90°－α)=sinα.

tan (90°－α)=cotα.

cot (90°－α)=tanα.

sec (90°－α)=cscα.

csc (90°－α)=secα.

⒊ 3π/2+α与α的三角函数值之间的关系

弧度制下的角的表示：

sin（3π/2+α）=－cosα.

cos（3π/2+α）=sinα.

tan（3π/2+α）=－cotα.

cot（3π/2+α）=－tanα.

sec（3π/2+α）=cscα.

csc（3π/2+α）=－secα.

角度制下的角的表示：

sin（270°+α）=－cosα.

cos（270°+α）=sinα.

tan（270°+α）=－cotα.

cot（270°+α）=－tanα.

sec（270°+α）=cscα.

csc（270°+α）=－secα.

⒋ 3π/2－α与α的三角函数值之间的关系

弧度制下的角的表示：

sin（3π/2－α）=－cosα.

cos（3π/2－α）=－sinα.

tan（3π/2－α）=cotα.

cot（3π/2－α）=tanα.

sec（3π/2－α）=－cscα.

csc（3π/2－α）=－secα.

角度制下的角的表示：

sin（270°－α）=－cosα.

cos（270°－α）=－sinα.

tan（270°－α）=cotα.

cot（270°－α）=tanα.

sec（270°－α）=－cscα.

csc（270°－α）=－secα.

三角函数的万 能公式有哪些sina=[2tan(a/2)]/[1+tan(a/2)]

cosa=[1-tan(a/2)]/[1+tan(a/2)]

tana=[2tan(a/2)]/[1-tan(a/2)]。

这节内容比较多，都是公式，前面4部分可以通过图像和象限进行辅助记忆，第五部分就只能通过不断做题来熟悉记忆了，基础的两角和差公式是必须记住的，后面的只需要熟悉，当然越熟悉，后面做题速度可能就越快。

三角函数的诱导公式记忆法则规律

公式一到公式五函数名未改变， 公式六函数名发生改变。

公式一到公式五可简记为：函数名不变，符号看象限。即α+k·360°（k∈Z），﹣α，180°±α，360°－α的三角函数值，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号。

上面这些诱导公式可以概括为：

对于kπ/2±α(k∈Z)的三角函数值，

①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；

②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan。（奇变偶不变）然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。（符号看象限）

例如：

sin(2π－α)=sin(4·π/2－α)，k=4为偶数，所以取sinα。

当α是锐角时，2π－α∈(270°，360°)，sin(2π－α)<0，符号为“－”。

所以sin(2π－α)=－sinα [3]

口诀：奇变偶不变，符号看象限。

注：奇变偶不变（对k而言，指k取奇数或偶数），符号看象限（看原函数，同时可把α看成是锐角）。

公式右边的符号为把α视为锐角时，角k·360°+α（k∈Z），-α、180°±α，360°-α所在象限的原三角函数值的符号可记忆：水平诱导名不变；符号看象限。

各种三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀“一全正；二正弦(余割)；三两切；四余弦(正割)”．

这十二字口诀的意思就是说：

第一象限内任何一个角的三角函数值都是“+”；

第二象限内只有正弦和余割是“+”，其余全部是“－”；

第三象限内只有正切和余切是“+”，其余函数是“－”；

第四象限内只有正割和余弦是“+”，其余全部是“－”。

一全正，二正弦，三双切，四余弦