处理直线与圆的位置关系,通常转化为线心距d与圆半径r的大小关系来解决,其中圆心C(a,b)到直线
的距离公式为
一. 线圆相切直线与圆相切的充要条件是:
例1. 直线
绕原点按逆时针方向旋转
后所得直线与圆
的位置关系是( )A. 直线过圆心B. 直线与圆相交,但不过圆心C. 直线与圆相切D. 直线与圆没有公共点解:已知圆
的圆心为C(2,0),半径
。由直线
得斜率
,即倾斜角为
。再绕原点按逆时针方向旋转
得倾斜角为
,从而斜率
,所以原直线化为
。由圆心C到直线
的距离
,知直线与圆相切,故选C。例2. 若直线
与圆
相切,则a的值为( )A. 1,-1B. 2,-2C. 1D. -1解:已知圆化为
,知圆心C(1,0),半径
。因为直线与圆相切,所以
,即
,解得
,故选D。
二. 线圆相离直线与圆相离的充要条件是:
;已知直线上一点P到圆心C的距离的最小值为线心距d,即有等量关系:
。例3. 圆
与直线
(
,
)的位置关系是( )A. 相交B. 相切C. 相离D. 不确定的解:圆方程化为标准方程得
,知圆心C(0,0),半径
因为圆心到直线
的距离
所以直线与圆相离,故选C例4. 已知P是直线
上的动点,PA、PB是圆
的两条切线,A、B是切点,C是圆心,那么四边形PACB面积的最小值为________________。解:已知圆化为
,知圆心C(1,1),半径
。因为
,求
的最小值就是求
的最小值,而
所以
三. 线圆相交直线与圆相交的充要条件是:
;若直线与圆相交,则线心距d、弦长的一半
与圆半径r构成直角三角形,即有等量关系:
。例5. 若直线
与圆
有两个不同的交点,则a的取值范围是( )A. (0,
)B. (
,0)C. (
)D. (
)解:已知圆心C(
,2),半径
。因为直线与圆相交,所以
,即
,平方去分母得
,解得
,故选B。例6. 已知圆C:
及直线
:
。当直线l被C截得的弦长为
时,则a=( )A.
B.
C.
D.
解:已知圆心C(a,2),半径
线心距为
因为线心距、弦长的一半与圆半径构成直角三角形,所以
解得
因为
,所以
,故选C
例7. 设圆满足:①截y轴所得弦长为2;②被x轴分成两段圆弧,其弧长的比为3:1。在满足条件①、②的所有圆中,求圆心到直线
的距离最小的圆的方程。解:设圆心C(a,b),半径r,则C到x轴、y轴的距离分别为
。由题设知圆C截x轴所得劣弧所对的圆心角是直角,所以有
;又圆C截y轴所得弦长为2,则有
,从而有
,由
得
当且仅当
时,d有最小值。解得
或
。故所求圆的方程为
或
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