所谓放缩法就是利用不等式的传递性,对照证题目标进行合情合理的放大和缩小的过程,在使用放缩法证题时要注意放和缩的“度”,否则就不能同向传递了,此法既可以单独用来证明不等式,也可以是其他方法证题时的一个重要步骤。下面举例谈谈运用放缩法证题的常见题型。一.“添舍”放缩通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的,这是常规思路。例1.设a,b为不相等的两正数,且a3-b3=a2-b2,求证。证明:由题设得a2+ab+b2=a+b,于是(a+b)2>a2+ab+b2=a+b,又a+b>0,得a+b>1,又ab<
(a+b)2,而(a+b)2=a+b+ab<a+b+
(a+b)2,即
(a+b)2<a+b,所以a+b<
,故有1<a+b<
。例2.已知a、b、c不全为零,求证:
证明:因为
,同理
,
。所以
二.分式放缩一个分式若分子变大则分式值变大,若分母变大则分式值变小,一个真分式,分子、分母同时加上同一个正数则分式值变大,利用这些性质,可达到证题目的。例3.已知a、b、c为三角形的三边,求证:
。证明:由于a、b、c为正数,所以
,
,
,所以
,又a,b,c为三角形的边,故b+c>a,则
为真分数,则
,同理
,
,故
.综合得
。三.裂项放缩若欲证不等式含有与自然数n有关的n项和,可采用数列中裂项求和等方法来解题。例4.已知n∈N*,求
。证明:因为
,则
,证毕。例5.已知
且
,求证:
对所有正整数n都成立。证明:因为
,所以
,又
,所以
,综合知结论成立。四.公式放缩利用已知的公式或恒不等式,把欲证不等式变形后再放缩,可获简解。例6.已知函数
,证明:对于
且
都有
。证明:由题意知
,又因为
且
,所以只须证
,又因为
所以
。例7.已知
,求证:当
时
。证明:
证毕。五.换元放缩对于不等式的某个部分进行换元,可显露问题的本质,然后随机进行放缩,可达解题目的。例8.已知
,求证
。证明:因为
,所以可设
,
,所以
则
,即
。例9.已知a,b,c为△ABC的三条边,且有
,当
且
时,求证:
。证明:由于
,可设a=csina,b=ccosa(a为锐角),因为
,
,则当
时,
,
,所以
。六.单调函数放缩根据题目特征,通过构造特殊的单调函数,利用其单调性质进行放缩求解。例10.已知a,b∈R,求证
。证明:构造函数
,首先判断其单调性,设
,因为
,所以
,所以
在
上是增函数,取
,
,显然满足
,所以
,即
。证毕。
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▍ 编辑:Wordwuli
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