定义:
为了解决问题,把问题中涉及的所有对象按某种标准分成有限的若干情况,然后对其中的每一类情况逐一解决,得出结论,从而达到最终解决整个问题的目的。
通俗地说,所谓分类讨论,就是当题目所给的对象不能进行统一研究时,就需要对研究对象按某个标准进行分类,然后对每个类别级别进行研究,得出每一类的结论,最后将各类结果进行综合,得到整个问题的解答。
分类讨论思想是一种非常重要的数学思想,同时也是一种逻辑方法与解题策略。
分类讨论的原则
①分类中的每一部分都是相互独立的;
②一次分类按一个标准;
③分类讨论应逐级进价,不能超越;
④分类过程不重复不遗漏。
适用分类讨论法解决的常见问题
①去绝对值符号问题;②方程、不等式解的讨论问题;③含有参数问题;④图形的位置或形状确定与否的问题;⑤特殊情况与一般情况问题;⑥数论中的分类讨论问题。
例1、求一元二次方程x|x|-5|x|+6=0的解。
分析:根据绝对值意义去掉绝对值符号,进行分类讨论。
①当x≥0时,原方程可化为x^2-5x+6=0,
即(x-2)(x-3)=0,解得x1=2,x2=3。
②当x<0时,原方程可化为-x^2+5x+6=0,
即x^2-5x-6=0,解得x1=-1,x2=6(舍去)。
所以原方程的解为x1=-1,x2=2,x3=3。
例2、在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=8,以△ABC的边AC为一边的等腰三角形,它的第三个顶点在△ABC的斜边AB上,则这个等腰三角形的腰长为___8√3或8_____。
分析:本题没有交代AC是等腰三角形的底还是高,所以有两种情况,如图所示
①当AC为等腰三角形的腰时,则腰长AC=√3BC=8√3;
②当AC为等腰三角形的底边时,该等腰三角形的腰长为8。
例3、设y=|x+1|+|x-2|+|2x+3|,求y的最小值。
分析:先将x的值分为4个区间,化简原式,再求各区间内的y的最小值。
当x≤-3/2时,y=-x-1-x+2-2x-3=-2-4x,此时y的最小值为:4;
当-3/2<x<-1时,y=-x-1-x+2+2x+3=4,此时y的值恒为4;
当-1≤x<2时,y=x+1-x+2+2x+3=2x+6,此时y的最小值为:4;
当x≥2时,y=x+1+x-2+2x+3=4x+2,此时y的最小值为:10。
综上所述,所求y的最小值为4。
例4、如图所示,已知△ABC中,角B为锐角,从顶点A向边BC或它的延长线引垂线交BC于点H,又从顶点C向边AB或它的延长线引垂线交AB于点K。
当2BH/BC、2BK/AB是正整数时,△ABC是什么样的三角形并证明。
分析:设2BH/BC=x,2BK/AB=y(x、y为正整数),可得xy<4。
则有①x=1,y=1;②x=1,y=2;③x=1,y=3;④x=2,y=1;⑤x=3,y=1。
①当x=1,y=1时,BC=2BH,AB=2BK,此时△ABC为等边三角形;
②当x=1,y=2时,BC=2BH,AB=BK,此时△ABC是以角BAC为直角的等腰直角三角形;
③当x=1,y=3时,BC=2BH,AB=2/3BK,此时△ABC是角BAC为120度的等腰三角形;
④当x=2,y=1时,与②类似,△ABC是角ACB为直角的等腰直角三角形;
⑤当x=3,y=1时,与③类似,△ABC是角ACB为120度的等腰三角形。