初中数学解题必备：分类讨论思想与技巧及例题解析

定义：

为了解决问题，把问题中涉及的所有对象按某种标准分成有限的若干情况，然后对其中的每一类情况逐一解决，得出结论，从而达到最终解决整个问题的目的。

通俗地说，所谓分类讨论，就是当题目所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准进行分类，然后对每个类别级别进行研究，得出每一类的结论，最后将各类结果进行综合，得到整个问题的解答。

分类讨论思想是一种非常重要的数学思想，同时也是一种逻辑方法与解题策略。

分类讨论的原则

①分类中的每一部分都是相互独立的；

②一次分类按一个标准；

③分类讨论应逐级进价，不能超越；

④分类过程不重复不遗漏。

适用分类讨论法解决的常见问题

①去绝对值符号问题；②方程、不等式解的讨论问题；③含有参数问题；④图形的位置或形状确定与否的问题；⑤特殊情况与一般情况问题；⑥数论中的分类讨论问题。

例1、求一元二次方程x|x|-5|x|+6=0的解。

分析：根据绝对值意义去掉绝对值符号，进行分类讨论。

①当x≥0时，原方程可化为x^2-5x+6=0，

即（x-2）（x-3）=0，解得x1=2，x2=3。

②当x<0时，原方程可化为-x^2+5x+6=0，

即x^2-5x-6=0，解得x1=-1，x2=6（舍去）。

所以原方程的解为x1=-1，x2=2，x3=3。

例2、在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝8，以△ABC的边AC为一边的等腰三角形，它的第三个顶点在△ABC的斜边AB上，则这个等腰三角形的腰长为___8√3或8_____。

分析：本题没有交代AC是等腰三角形的底还是高，所以有两种情况，如图所示

①当AC为等腰三角形的腰时，则腰长AC=√3BC=8√3；

②当AC为等腰三角形的底边时，该等腰三角形的腰长为8。

例3、设y=|x+1|+|x-2|+|2x+3|，求y的最小值。

分析：先将x的值分为4个区间，化简原式，再求各区间内的y的最小值。

当x≤-3/2时，y=-x-1-x+2-2x-3=-2-4x，此时y的最小值为：4；

当-3/2<x<-1时，y=-x-1-x+2+2x+3=4，此时y的值恒为4；

当-1≤x<2时，y=x+1-x+2+2x+3=2x+6，此时y的最小值为：4；

当x≥2时，y=x+1+x-2+2x+3=4x+2，此时y的最小值为：10。

综上所述，所求y的最小值为4。

例4、如图所示，已知△ABC中，角B为锐角，从顶点A向边BC或它的延长线引垂线交BC于点H，又从顶点C向边AB或它的延长线引垂线交AB于点K。

当2BH/BC、2BK/AB是正整数时，△ABC是什么样的三角形并证明。

分析：设2BH/BC=x，2BK/AB=y（x、y为正整数），可得xy<4。

则有①x=1，y=1；②x=1，y=2；③x=1，y=3；④x=2，y=1；⑤x=3，y=1。

①当x=1，y=1时，BC=2BH，AB=2BK，此时△ABC为等边三角形；

②当x=1，y=2时，BC=2BH，AB=BK，此时△ABC是以角BAC为直角的等腰直角三角形；

③当x=1，y=3时，BC=2BH，AB=2/3BK，此时△ABC是角BAC为120度的等腰三角形；

④当x=2，y=1时，与②类似，△ABC是角ACB为直角的等腰直角三角形；

⑤当x=3，y=1时，与③类似，△ABC是角ACB为120度的等腰三角形。