几何变换问题是近几年每年必考的压轴类试题，它多以三角形、四边形为载体，结合平移、旋转、翻折、相似等变换，集中考查学生对几何知识的综合掌握情况．试题的设问往往是由小到大、由易到难，在应用勾股定理、三角形全等、三角形相似、特殊四边形的判定及性质的过程中，通过逐步探索新知的方式解答问题．此类问题注重对探索、创新能力的考查，是近年来中考命题的新趋势．尤其是几何变换的多解压轴题，几乎年年考，年年让一大批考生欲哭无泪。究竟几何变换的多解问题压轴题有多难？能让众多考生望而生畏？下面通过具体实例看一下，是否真的很难，来寻找解这类问题策略。
类型1，图形的翻折变换
在翻折问题中，折痕是翻折前后两个图形的对称轴，利用“连接对称点的线段被对称轴垂直平分”这条性质，找到有关的数量关系，抓住图形在翻折变换中的全等不变性是非常重要的．注意折痕位置不确定性带来图形多样性而出现问题的多解.另外，在翻折问题中还经常结合勾股定理、相似三角形、锐角三角函数等知识共同解决问题．
1．（保定一模）课题学习：矩形折纸中的数学
实践操作
折纸不仅是一项有趣的活动，也是一项益智的数学活动．数学课上，老师给出这样一道题将矩形纸片ABCD沿对角线AC翻折，使点B落在矩形所在平面内，BC和AD相交于点E，如图1所示．
探素发现
（1）在图1中，①请猜想并证明AE和EC的数量关系；②连接BD，请猜想并证明BD和AC的位置关系；
（2）第1小组的同学发现，图1中，将矩形ABCD沿对角线AC翻折所得到的图形是轴对称图形．若沿对称轴EF再次翻折所得到的图形仍是轴对称图形，展开后如图2所示，请你直接写出该矩形纸片的长、宽之比；
（3）若将图1中的矩形变为平行四边形时（AB≠BC），如图3所示，（1）中的结论①和结论②是否仍然成立，请直接写出你的判断．
拓展应用
（4）在图3中，若∠B＝30°，AB＝2，请您直接写出：当BC的长度为多少时，△ABD恰好为直角三角形．
【分析】本题属于四边形综合题，考查了翻折变换，矩形的性质，平行四边形的性质，直角三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
【解答】（1）如图1中，①结论：EA＝EC．理由：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∴∠EAC＝∠ACB，
由翻折可知：∠ACB＝∠ACE，∴∠EAC＝∠ECA，∴EA＝EC．
②连接DB′．结论：DB′∥AC．
∵EA＝EC，∴∠EAC＝∠ECA，
∵AD＝BC＝CB′，∴ED＝EB′，∴∠EB′D＝∠EDB′，
∵∠AEC＝∠DEB′，∴∠EB′D＝∠EAC，∴DB′∥AC．
（2）如图2中，
①当AB：AD＝1：1时，四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC＝∠CAD＝∠EAB′＝45°，
∵AE＝AE，∠B′＝∠AFE＝90°，∴△AEB′≌△AEF（AAS），∴AB′＝AF，
此时四边形AFEB′是轴对称图形，符合题意．
②当AD：AB＝ 时，也符合题意，
∵此时∠DAC＝30°，∴AC＝2CD，∴AF＝FC＝CD＝AB＝AB′，
∴此时四边形AFEB′是轴对称图形，符合题意．
（3）如图3中，当四边形ABCD是平行四边形时，仍然有EA＝EC，DB′∥AC．
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EAC＝∠ACB，
由翻折可知：∠ACB＝∠ACE，∴∠EAC＝∠ECA，∴EA＝EC．
∵EA＝EC，∴∠EAC＝∠ECA，
∵AD＝BC＝CB′，∴ED＝EB′，∴∠EB′D＝∠EDB′，
∵∠AEC＝∠DEB′，∴∠EB′D＝∠EAC，∴DB′∥AC．
类型2 图形的平移变换
在图形的平移过程中，除了对应线段、对应角等有关几何量始终保持相等外，对应线段的位置也是保持平行的．对于一些较为复杂的图形运动问题，借助示意图的直观性能很好地降低对问题理解上的难度．此外，还要借助空间想象能力对图形运动作深刻的理性分析，全面剖析各种可能性．
2.（潍坊中考题）如图1，在ABCD中，DH⊥AB于点H，CD的垂直平分线交CD于点E，交AB于点F，AB＝6，DH＝4，BF：FA＝1：5．
（1）如图2，作FG⊥AD于点G，交DH于点M，将△DGM沿DC方向平移，得到△CG′M′，连接M′B．
①求四边形BHMM′的面积；
②直线EF上有一动点N，求△DNM周长的最小值．
（2）如图3，延长CB交EF于点Q，过点Q作QK∥AB，过CD边上的动点P作PK∥EF，并与QK交于点K，将△PKQ沿直线PQ翻折，使点K的对应点K′恰好落在直线AB上，求线段CP的长．
【分析】（1）①由题意可知四边形BHMM＇为梯形，上底BH，下底MM′易求，故只需求出高MH即可，计算MH可通过同角的余角相等证明∠FMH＝∠A，而∠A的正切值易求，故高MH可得（求高也可利用△FHM∽△DHA来计算），从而求出面积；②由EF垂直平分CD可得点D和点C关于直线EF对称，故只需连接CM，CM与EF的交点即为满足条件的点N，分别求出CM和DM即可求出周长的最小值；（2）先通过∠A的正切值不变求出FQ的长度，从而求出PK，由折叠可得PK′＝PK，QK′＝QK，利用勾股定理先求出GＫ′的长度，设PE＝x，在Rt△QFK′中把FK′和QK′用x表示出来，利用勾股定理求出x的值，从而求出CP的长度．
【解答】：（1）①在ABCD中，AB＝6，直线EF垂直平分CD，∴DE＝FH＝3，
又BF：FA＝1：5，∴AH＝2，
∵Rt△AHD∽Rt△MHF，
∴HM/FH=AH/DH，即HM/3=2/4，∴HM＝1.5，
根据平移的性质，MM＝CD＝6，连接BM，如图1，
四边形BHMM′的面积＝1/2×6×1.5+1/2×4×1.5=7.5；
②连接CM交直线EF于点N，连接DN，如图2，
∵直线EF垂直平分CD，∴CN＝DN，
∵MH＝1.5，∴DM＝2.5，
【方法规律】解题的关键是：（1）根据“将军饮马”模型找出点的位置，利用轴对称是求最短路线问题的常用技巧，其方法就是要作出一点关于直线的对称点，另一点与对称点之间的线段的长就是最短路线段长．（2）根据两点之间线段最短求出最值，（基本思想：数线共线取最值）
类型3，图形的旋转变化。
几何图形的旋转变换是近年来中考中的常考点，多与三角形、四边形相结合．解决旋转变换问题，首先要明确旋转中点、旋转方向和旋转角，关键是找出旋转前后的对应点，利用旋转前后两图形全等等性质解题．
3．（河南二模）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D，E分别在边AC，AB上，∠DEA＝90°，连接BD，点F是BD的中点，连接CF，EF．
（1）观察猜想，
图1中，线段CF与EF的数量关系是______，位置关系是_______；
（2）探究证明
把△DEA绕点A按逆时针方向旋转到图2的位置，请判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；
（提示：先延长EF至点G，使FG＝EF，再连接BG，CE，CG）
（3）拓展延伸
把△DEA绕点A在平面内自由旋转，若AC＝√10 ，AD＝2，请直接写出当点B，D，E在一条直线上时CE的长．
【分析】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的三线合一，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
【解答】（1）结论：CF＝EF，CF⊥EF．
理由：如图1中，∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，
∵∠DCB＝90°，DF＝FB，∴EF＝1/2DB，CF＝1/2BD，∴EF＝CF．
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，∴∠ABC＝45°，
∵∠DCB＝∠DEB＝90°，∴∠CDE＝135°，
∵DF＝FB，∴DF＝EF＝CF，∴∠FDE＝∠FED，∠FCD＝∠FDC，
∴∠FED+∠FDE+∠FDC+∠FCD＝270°，
∴∠CFE＝360°﹣270°＝90°，∴CF⊥FE．
（2）仍然成立．理由如下：
如图2，延长EF至点G，使FG＝EF，交AB于点K，连接BG，CE，CG．
∵点F为BD的中点，BF＝DF，∠GFB＝∠DFE，
∴△GFB≌△EFD（SAS），
∴BG＝ED，∠BGF＝∠DEF，
在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，CA＝CB，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
∵∠DAE＝∠CAB，∠DAE＝45°，∠DEA＝90°，DE＝AE．∴BG＝AE
∵∠CBG＝∠CBA+∠CBK＝45°+∠GBK，
又∵∠CAE＝∠EAK﹣∠CAB＝∠EAK﹣45°＝∠GBK+∠BGK﹣∠AEK﹣45°
＝∠GBK+∠DEK﹣∠AEK﹣45＝∠GBK+∠DEA﹣45°＝∠GBK+90°﹣45°＝∠GBK+45°，∴∠CBG＝∠CAE，∴△CBG≌△CAE（SAS），
CG＝CE，∠BCG＝∠ACE，
∴∠ECG＝∠ACE+∠ACG＝∠BCG+∠ACG＝∠ACB＝90°，
∵FG＝EF，CF＝EF，∴CF⊥EF．
（3）如图3﹣1中，当点D在直线AB的上方时，连接EC．
如图3﹣2中，当点D在AB的下方时，连接EC．同法可求：EC＝4．综上所述，满足条件的EC的值为2或4．
4．（金牛区模拟）（1）△ABC和△CDE是两个等腰直角三角形，如图1，其中∠ACB＝∠DCE＝90°，连结AD、BE，求证：△ACD≌△BCE．
（2）△ABC和△CDE是两个含30°的直角三角形，其中∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝30°，CD＜AC，△CDE从边CD与AC重合开始绕点C逆时针旋转一定角度α（0°＜α＜180°）；
①如图2，DE与BC交于点F，与AB交于点G，连结AD，若四边形ADEC为平行四边形，求BG/AG的值；
②若AB＝10，DE＝8，连结BD、BE，当以点B、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，求BE的长．
【分析】本题是四边形综合题目，考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、四点共圆、圆周角定理等知识；本题综合性强，证明三角形相似是解题的关键．
【解答】（1）证明：∵△ABC和△CDE是两个等腰直角三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE，∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，AC=BC, ∠ACD＝∠BCE，CD=CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS）；
（2）解：①连接CG，如图2所示：
∵四边形ADEC为平行四边形，∴AD∥CE，∴∠ADE+∠CED＝180°，
∵∠CED＝90°﹣∠CDE＝90°﹣30°＝60°，∴∠ADE＝120°，
∴∠ADC＝∠ADE﹣∠CDE＝90°，
∵∠CAB＝∠CDE＝30°，∴A、D、G、C四点共圆∴∠AGC＝∠ADC＝90°，
∵∠CAB＝30°，∴CG＝1/2AC，AG＝√3CG，∠BCG＝30°，
∴CG＝√3BG，即BG＝√3/3CG∴BG/AG＝3；
②分三种情况：当∠BED＝90°时，如图3所示：
∵△ABC和△CDE是两个含30°的直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝30°，
总之，点动成线，线动成面，面动成体这是图形的变化的“宗”，我们需要掌握其变化规律，掌握变化前后点、线、面的联系，找到隐含的条件，从而解决问题。
