因几何变换产生的最值问题
因动点产生的最值问题一直都是中考数学的热点,无论是基础题、中等题还是压轴题,最大值或者最小值问题几乎年年考,年年都有一批考生无从下手。
其实,几何的最值问题原理非常简单,就两个:(1)点到直线的距离最短;(2)两点之间,线段最短。
而几何变换,基本都是靠这两个原理来求最值。备考时,一定要注意将复杂的题型转化到这两个简单的原理。无论是一条线段长度的最值问题(作垂线),还是多条线段长度的最值问题(将军饮马)。如果你觉得转化难度太大,记住下面这个口诀:最值问题转化难,一个定圆来帮忙!
下面,来一道压轴题试试吧……
问题发现.
(1)如图①,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,点D是AB边上任意一点,则CD的最小值为________.
(2)如图②,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,点M、点N分别在BD、BC上,求CM+MN的最小值.
(3)如图③,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,点E是AB边上一点,且AE=2,点F是BC边上的任意一点,把△BEF沿EF翻折,点B的对应点为G,连接AG、CG,四边形AGCD的面积是否存在最小值,若存在,求这个最小值及此时BF的长度.若不存在,请说明理由.
问题分析
(1)根据点到直线的距离最小,再用三角形的面积即可得出结论;
(2)先根据轴对称确定出点M和N的位置,再利用面积求出CF,进而求出CE,最后用三角函数即可求出CM+MN的最小值;
(3)先确定出EG⊥AC时,四边形AGCD的面积最小,再用锐角三角函数求出点G到AC的距离,最后用面积之和即可得出结论,再用相似三角形得出的比例式求出CF即可求出BF.
问题解决
解:(1)如图①,过点C作CD⊥AB于D,根据点到直线的距离垂线段最小,此时CD最小,
在Rt△ABC中,AC=3,BC=4,根据勾股定理得,AB=5,
∵0.5AC×BC=0.5AB×CD,
∴CD=AC×BC÷AB=2.4,
故答案为2.4;
(2)如图②,作出点C关于BD的对称点E,
过点E作EN⊥BC于N,交BD于M,连接CM,此时CM+MN=EN最小;
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠BCD=90°,CD=AB=3,根据勾股定理得,BD=5,
∵CE⊥BC,
∴0.5BD×CF=0.5BC×CD,
∴CF=BC×DC÷DB=2.4,
由对称得,CE=2CF=4.8,
在Rt△BCF中,cos∠BCF=CF÷BC=0.6,
∴sin∠BCF=0.8,
在Rt△CEN中,EN=CEsin∠BCE=96/25;
即:CM+MN的最小值为96/25;
(3)如图3,
∵四边形ABCD是矩形,
∴CD=AB=3,AD=BC=4,∠ABC=∠D=90°,根据勾股定理得,AC=5,
∵AB=3,AE=2,
∴点F在BC上的任何位置时,点G始终在AC的下方,
设点G到AC的距离为h,
∵S四边形AGCD=S△ACD+S△ACG=0.5AD×CD+0.5AC×h=0.5×4×3+0.5×5×h=2.5h+6,
∴要四边形AGCD的面积最小,即:h最小,
∵点G是以点E为圆心,BE=1为半径的圆上在矩形ABCD内部的一部分点,
∴EG⊥AC时,h最小,
由折叠知∠EGF=∠ABC=90°,
延长EG交AC于H,则EH⊥AC,
在Rt△ABC中,sin∠BAC=BC/AC=0.8,
在Rt△AEH中,AE=2,sin∠BAC=EH/AE=0.8,
∴EH=0.8AE=1.6,
∴h=EH﹣EG=1.6﹣1=0.6,
∴S四边形AGCD最小=2.5h+6=7.5,
过点F作FM⊥AC于M,
∵EH⊥FG,EH⊥AC,
∴四边形FGHM是矩形,
∴FM=GH=0.6
∵∠FCM=∠ACB,∠CMF=CBA=90°,
∴△CMF∽△CBA,
∴CF/AC=FM/AB,
∴CF/5=0.6/3
∴CF=1
∴BF=BC-CF=4-1=3.
问题总结
此题是四边形综合题,主要考查了矩形的性质,点到直线的距离,轴对称,解本题的关键是确定出满足条件的点的位置,是一道很好的中考常考题.