【例题3】如图，已知二次函数 y = 1/2 x2 + bx + c 的图象经过点 A（﹣3，6），并与 x 轴交于点 B（﹣1，0）和点 C，顶点为点 P．
（1）求这个二次函数解析式；
（2）设 D 为 x 轴上一点，满足 ∠DPC＝∠BAC，求点 D 的坐标；
（3）作直线 AP，在抛物线的对称轴上是否存在一点 M，在直线 AP 上是否存在点 N，使 AM + MN 的值最小？若存在，求出 M、N 的坐标：若不存在，请说明理由．
【解析】解：
（1）将点 A、B 坐标代入二次函数表达式得：
故：抛物线的表达式为：y＝1/2 x2﹣x﹣3/2，
令 y＝0，则 x＝﹣1 或 3，令 x＝0，则 y＝﹣3/2，
故点 C 坐标为（3，0），点 P（1，﹣2）；
（2）
① 点 D 在点 C 的右侧时，设：∠DPC＝∠BAC＝α，
过点 B 作 BH⊥AC 交于点 H，过点 P 作 PG⊥x 轴交于点 G，
由题意得：AB＝2√10，AC＝6√2，BC＝4，PC＝2√2，
∵ S△ABC＝1/2 × AC × BH＝1/2 × BC × yA，
∴ BH＝2√2，
∵ sinα＝BH/AB＝2√2 / 2√10＝1/√5，则 tanα＝1/2，
由题意得：GC＝2＝PG，故 ∠PCB＝45°，
延长 PC，过点 D 作 DM⊥PC 交于点 M，则 MD＝MC＝x，
在 △PMD 中，tanα＝MD/PM＝x /（x + 2√2）＝ 1/2，
解得：x＝2√2，则 CD＝√2 x＝4，
故点 D（7，0）；
② 当点 D 在点 C 的左侧时，设：∠DPC＝∠BAC＝α，过 D 点作 DM⊥PC 于点 M，
∠PCB＝45°，则 MD＝MC＝y，
在 △PMD 中，tanα＝MD/PM＝y /（2√2 - y）＝ 1/2，
解得：y＝2/3 √2，则 CD＝√2 y＝4/3，
故点 D（5/3，0），
综上点 D（7，0）或（5/3，0）；
（3）作点 A 关于对称轴的对称点 A′（5，6），
过点 A′ 作 A′N⊥AP 分别交对称轴于点 M、交 AP 于点 N，此时 AM + MN 最小，
直线 AP 表达式中的 k 值为：8 / - 4＝﹣2，则直线 A′N 表达式中的 k 值为 1/2，
设直线 A′N 的表达式为：y＝1/2 x + b，
将点 A′ 坐标代入上式并求解得：b＝7/2，
故直线 A′N 的表达式为：y＝1/2 x + 7/2 … ①，
当 x＝1 时，y＝4，
故点 M（1，4），
同理直线 AP 的表达式为：y＝﹣2x … ②，
联立 ①、② 两个方程并求解得：x＝﹣7/5，
故点 N（﹣7/5，14/5）．
