【例题3】如图,已知二次函数 y = 1/2 x2 + bx + c 的图象经过点 A(﹣3,6),并与 x 轴交于点 B(﹣1,0)和点 C,顶点为点 P.
(1)求这个二次函数解析式;
(2)设 D 为 x 轴上一点,满足 ∠DPC=∠BAC,求点 D 的坐标;
(3)作直线 AP,在抛物线的对称轴上是否存在一点 M,在直线 AP 上是否存在点 N,使 AM + MN 的值最小?若存在,求出 M、N 的坐标:若不存在,请说明理由.
【解析】解:
(1)将点 A、B 坐标代入二次函数表达式得:
故:抛物线的表达式为:y=1/2 x2﹣x﹣3/2,
令 y=0,则 x=﹣1 或 3,令 x=0,则 y=﹣3/2,
故点 C 坐标为(3,0),点 P(1,﹣2);
(2)
① 点 D 在点 C 的右侧时,设:∠DPC=∠BAC=α,
过点 B 作 BH⊥AC 交于点 H,过点 P 作 PG⊥x 轴交于点 G,
由题意得:AB=2√10,AC=6√2,BC=4,PC=2√2,
∵ S△ABC=1/2 × AC × BH=1/2 × BC × yA,
∴ BH=2√2,
∵ sinα=BH/AB=2√2 / 2√10=1/√5,则 tanα=1/2,
由题意得:GC=2=PG,故 ∠PCB=45°,
延长 PC,过点 D 作 DM⊥PC 交于点 M,则 MD=MC=x,
在 △PMD 中,tanα=MD/PM=x /(x + 2√2)= 1/2,
解得:x=2√2,则 CD=√2 x=4,
故点 D(7,0);
② 当点 D 在点 C 的左侧时,设:∠DPC=∠BAC=α,过 D 点作 DM⊥PC 于点 M,
∠PCB=45°,则 MD=MC=y,
在 △PMD 中,tanα=MD/PM=y /(2√2 - y)= 1/2,
解得:y=2/3 √2,则 CD=√2 y=4/3,
故点 D(5/3,0),
综上点 D(7,0)或(5/3,0);
(3)作点 A 关于对称轴的对称点 A′(5,6),
过点 A′ 作 A′N⊥AP 分别交对称轴于点 M、交 AP 于点 N,此时 AM + MN 最小,
直线 AP 表达式中的 k 值为:8 / - 4=﹣2,则直线 A′N 表达式中的 k 值为 1/2,
设直线 A′N 的表达式为:y=1/2 x + b,
将点 A′ 坐标代入上式并求解得:b=7/2,
故直线 A′N 的表达式为:y=1/2 x + 7/2 … ①,
当 x=1 时,y=4,
故点 M(1,4),
同理直线 AP 的表达式为:y=﹣2x … ②,
联立 ①、② 两个方程并求解得:x=﹣7/5,
故点 N(﹣7/5,14/5).