【例题1】如图，已知直线 y＝﹣3x + c 与 x 轴相交于点 A（1，0），与 y 轴相交于点 B，抛物线
y＝﹣x2 + bx + c 经过点 A、B，与 x 轴的另一个交点为 C，抛物线的对称轴交 x 轴于点 E．
（1）直接写出抛物线的解析式；
（2）点 P 是第二象限抛物线上一点，且 S△PAB＝2S△AOB 时，求点 P 的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接 AP 交 y 轴于点 D，若点 Q 是第二象限内抛物线上一动点，连接 QE交 CD 于点 F，求以 C、E、F 为顶点的三角形与 △AOB 相似时点 Q 的坐标．
【解析】解：
（1）将点 A（1，0）的坐标代入 y＝﹣3x + c，解得：c＝3，
则点 B（0，3），则抛物线的表达式为：y＝﹣x2 + bx + 3，
将点 A（1，0）的坐标代入二次函数表达式并解得：b＝﹣2，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x + 3 … ①，
抛物线的顶点坐标为（﹣1，4）；
（2）连接 PB，过点 P 作 PH⊥x 轴于点 H，
设点 P（m，n），n＝﹣m2 - 2m + 3，
2S△AOB＝2 × 1/2 × OA × OB＝3，
S△PAB＝S梯形PHOB + S△AOB﹣S△APH＝1/2（n+3）（﹣m）+ 3/2﹣1/2（1﹣m）n＝3，
整理得：m2﹣m + 6＝0，
解得：m＝3 或﹣2（舍去正值），
故点 P（﹣2，3）；
（3）C、E、F 为顶点的三角形与 △AOB 相似时，只有 ∠CEF＝90° 和 ∠CFE＝90° ，
① 当 ∠CEF＝90° 时，Q 与抛物线的顶点重合，
故点 Q（﹣1，4）；
② ∠CFE＝90° 时，过点 F 作 FG⊥x 轴于点 G，
当 △CFE∽△BOA 时，则 ∠OBA＝∠FCE＝α，
则 tan∠OBA＝tan∠FCE＝tanα＝1/3，则 sinα＝1/√10，cosα＝3/√10，
则 EF/CF = OA/OB = 1/3，
设 EF＝m，可知 CE＝2，则 CF＝3m，
由 EF2 + CF2＝CE2，
解得：m＝2/√10，则 CF＝6/√10，
FG＝CFsinα＝3/5，CG＝CFcosα＝9/5，
则点 F（﹣6/5，3/5），
将点 E、F 的坐标代入一次函数表达式 y＝kx+b 得：
3/5 = -5/6k + b , 0 = -k + b ,
解得：k = -3 , b = -3 ,
故直线 EF 的表达式为：y＝﹣3x﹣3 …②，
①② 联立并解得：x＝3 或﹣2（舍去正值），
故点 Q（﹣2，3）；
当 △CFE∽△AOB 时，这种情况不存在，
故点 Q 的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3）．
