【例题1】如图,已知直线 y=﹣3x + c 与 x 轴相交于点 A(1,0),与 y 轴相交于点 B,抛物线
y=﹣x2 + bx + c 经过点 A、B,与 x 轴的另一个交点为 C,抛物线的对称轴交 x 轴于点 E.
(1)直接写出抛物线的解析式;
(2)点 P 是第二象限抛物线上一点,且 S△PAB=2S△AOB 时,求点 P 的坐标;
(3)在(2)的条件下,连接 AP 交 y 轴于点 D,若点 Q 是第二象限内抛物线上一动点,连接 QE交 CD 于点 F,求以 C、E、F 为顶点的三角形与 △AOB 相似时点 Q 的坐标.
【解析】解:
(1)将点 A(1,0)的坐标代入 y=﹣3x + c,解得:c=3,
则点 B(0,3),则抛物线的表达式为:y=﹣x2 + bx + 3,
将点 A(1,0)的坐标代入二次函数表达式并解得:b=﹣2,
故抛物线的表达式为:y=﹣x2﹣2x + 3 … ①,
抛物线的顶点坐标为(﹣1,4);
(2)连接 PB,过点 P 作 PH⊥x 轴于点 H,
设点 P(m,n),n=﹣m2 - 2m + 3,
2S△AOB=2 × 1/2 × OA × OB=3,
S△PAB=S梯形PHOB + S△AOB﹣S△APH=1/2(n+3)(﹣m)+ 3/2﹣1/2(1﹣m)n=3,
整理得:m2﹣m + 6=0,
解得:m=3 或﹣2(舍去正值),
故点 P(﹣2,3);
(3)C、E、F 为顶点的三角形与 △AOB 相似时,只有 ∠CEF=90° 和 ∠CFE=90° ,
① 当 ∠CEF=90° 时,Q 与抛物线的顶点重合,
故点 Q(﹣1,4);
② ∠CFE=90° 时,过点 F 作 FG⊥x 轴于点 G,
当 △CFE∽△BOA 时,则 ∠OBA=∠FCE=α,
则 tan∠OBA=tan∠FCE=tanα=1/3,则 sinα=1/√10,cosα=3/√10,
则 EF/CF = OA/OB = 1/3,
设 EF=m,可知 CE=2,则 CF=3m,
由 EF2 + CF2=CE2,
解得:m=2/√10,则 CF=6/√10,
FG=CFsinα=3/5,CG=CFcosα=9/5,
则点 F(﹣6/5,3/5),
将点 E、F 的坐标代入一次函数表达式 y=kx+b 得:
3/5 = -5/6k + b , 0 = -k + b ,
解得:k = -3 , b = -3 ,
故直线 EF 的表达式为:y=﹣3x﹣3 …②,
①② 联立并解得:x=3 或﹣2(舍去正值),
故点 Q(﹣2,3);
当 △CFE∽△AOB 时,这种情况不存在,
故点 Q 的坐标为(﹣1,4)或(﹣2,3).