二次函数的最值问题一直是初中数学考试的热点、重点之一。
一般情况下,要解决二次函数的最值问题涉及的知识比较多,方法灵活,难度也比较大,具有较强的综合性。
二次函数的最值问题:
1、自变量x为任意实数时的二次函数的最值;
2、自变量在给定某一确定范围时的二次函数的最值;
3、实际应用问题中所建立向二次函数数学模型时二次函数的最值。
求二次函数的最值,基本方法就是配方法。
二次函数的最值
二次函数:
y=ax^2+bx+c
=a(x+b/2a)^2+(4ac-b^2)/4a;
1、当a>0时:
①当x取任意实数即-∞<x<∞时,函数在x=-b/2a时有最小值(4ac-b^2)/4a,而无最大值;
②在-∞<x≤m时
当m≤-b/2a时,函数在x=m时有最小值y=f(m);
当m>-b/2a时,函数在x=-b/2a时有最小值(4ac-b^2)/4a。
在m≤x<∞时:
当m>-b/2a时,函数在x=m时有最小值y=f(m);
当m≤-b/2a时,函数在x=-b/2a时有最小值(4ac-b^2)/4a。
③在m≤x≤n时:
当n≤-b/2a时,函数在x=m时有最大值y=f(m),函数在x=n时有最小值y=f(n);
当m<-b/2a<n时,函数在x=-b/2a时有最小值(4ac-b^2)/4a,函数的最大值为f(m)与f(n)中的较大者。
2、当a<0时:
①当x取任意实数即-∞<x<∞时,函数在x=-b/2a时有最大值(4ac-b^2)/4a,而无最小值;
②在-∞<x≤m时
当m≤-b/2a时,函数在x=m时有最大值y=f(m);
当m>-b/2a时,函数在x=-b/2a时有最大值(4ac-b^2)/4a。
在m≤x<∞时:
当m>-b/2a时,函数在x=m时有最大值y=f(m);
当m≤-b/2a时,函数在x=-b/2a时有最大值(4ac-b^2)/4a。
③在m≤x≤n时:
当n≤-b/2a时,函数在x=n时有最大值y=f(n),函数在x=m时有最小值y=f(m);
当m<-b/2a<n时,函数在x=-b/2a时有最大值(4ac-b^2)/4a,函数的最小值为f(m)与f(n)中的较小者。
例1:已知二次函数y=-x^2+8x-4,当x取值为m≤x≤m+5时,此函数的最大值为y=-(m-4)^2+12,求m的取值范围。
分析:该二次函数对称轴x=-b/2a=4。
因为函数的最大值为y=-(m-4)^2+12,所以当x=m时此函数取得最大值,又因为m≤x≤m+5,即在x取左端点的数m时函数取得最大值,所以t≥4。
例2:已知二次函数y=x^2-5x-3,实数m>-3。
求:①函数在-3<x≤a的最小值;
②函数在a≤x≤a+3的最小值。
分析:
将二次函数的表达式改写成顶点式:
y=(x-5/2)^2-37/4,
所以该抛物线对称轴x=-b/2a=5/2,顶点纵坐标为-37/4。
其图像如下图所示:
①当-3<m<5/2时,当x=m时函数有最小值y=m^2-5m-3。
当m≥5/2时,当x=5/2时函数有最小值y=-37/4。
②当m>-3且m+3<5/2(即-3<m<-1/2)时,当x=m+2时函数有最小值y=(m+3)^2-5(m+3)-3=m^2+m-9。
当-3<m≤5/2且a+3≥5/2(即-1/2≤m≤5/2)时,函数在x=5/2时有最小值y=-37/4。
当m>5/2时,函数在x=m时有最小值y=m^2-5m-3。
例2、: