01、
杨辉，字谦光，钱塘人，是南宋杰出的数学家和数学教育家。但是，古代中国比较注重治国安邦及文学方面的素养，对于物理、化学、数学等科学技术则缺少关注，因此史书上对杨辉这个人并没有过多的记载，我们只知道他曾担任过地方行政官员，为政清廉，足迹遍及苏杭一带。
在1261年到1275年的这时间里，杨辉独立完成了5部数学著作，分别是《详解九章算法》、《日用算法》、《乘除通变本末》、《田亩比类乘除捷法》，以及《续古摘奇算法》。
唐代中期以后，社会经济蓬勃发展，手工业和商业也迅速兴盛起来，人们急需一种便于掌握，又方便快捷的计算方法，因此，中晚唐时期出现了不少实用的算术书籍，只可惜这些书籍大多都已失传。
唯一流传至今的《韩延算术》，大约编写于公元770年前后，书中介绍了很多乘除捷算法的例子。比如，某数乘以42可以化为某数乘以6，再乘以7；某数除以12可以化为某数除以2，再除以6。
杨辉在前人的基础上，进一步发展了乘除捷算法，提出了“相乘六法”，比如，对于乘数末位为一的两位数乘法，可以通过乘法分配律，将多位数乘法化为一位数乘法和加法，举个例子，257×21=257×20十257。
再比如，当乘数为9、8、7时，可以用10与被乘数相乘，再减去被乘数的1、2、3倍。
杨辉对各种乘除捷算法的总结及改进，大大加快了人们的运算速度，同时促进了运算工具的改革，一种更为方便快捷的运算工具——算盘应运而生，到了元末时期，已经广为流行。
这就是杨辉在数学方面的第一个重要成就。
02、
杨辉在数学方面的第二个重要成就在幻方方面，他是世界上第一个讨论幻方的构成规律，并依据规律排出丰富的幻方的数学家。
幻方，又称纵横图，最早起源于中国，一般是方形的，行数与列数相等，各行各列的数字之和也相等。
纵横图有几行，就称为几阶。我国最早的纵横图是汉代的“九宫图”，它是三阶的，每行每列的数字之和为15，对角线上的数字之和也是15。由于有这样奇妙的性质，宋代的理学家们便把它与《固易》中的“河出图，洛出书”联系起来，认为九宫图即天生的神物——洛书。
在13世纪以前，中国数学家们并没有认真对待这张图，只把它看成一种数字游戏，甚至觉得它笼罩着一层神秘的色彩。
杨辉却孜孜不倦地探索幻方的性质，以自己的研究成果证明，这种图形是有规律的。
杨辉不仅给出了这些图的编造方法，而且对一些图的一般构造规律有所认识，打破了幻方的神秘性，这是世界上对幻方最早的系统研究和记录。自杨辉以后，明清两代中算家关于纵横图的研究相继不断。
说起杨辉的这一成就，还有一个有趣的小故事。
有一天，杨辉作为台州府的地方官，出外巡游，铜锣开道，大轿抬起，好不威风。可是走着走着，却被一个孩童挡住了去路，孩童说先生给自己布置了一道题目，题目是这样的，“把1到9的数字分三行排列，不论直着加，横着加，还是斜着加，结果都等于15。”
那孩童正算到关键之处，不料杨辉的队伍过来了，孩童怕杨辉的队伍过去之后，会把自己的算式踩掉，自己就想不起来该怎么计算了，所以就拦住了杨辉的去路，一定要将自己的题目算完才肯让杨辉的队伍过去。
于是杨辉就下了轿子，帮这孩童一起计算，直到天已过午，才完成了这道题目。杨辉想要拜访一下这孩童的先生，却得知孩子家境贫寒，没钱读书，只能趁给地主家放牛时，偷偷地躲在学生的窗下偷听，今天上午先生出了这道题，这孩童用心自学，终于把它解决了。
杨辉听了很感动，带着孩童找到先生，说了这孩子的情况，又掏出银两，给孩童交了学费。教书先生对杨辉的清廉为人非常敬佩，于是俩人谈论起数学。
交谈中杨辉得知方才和孩童做的那道题出自《大戴礼》，这虽然是一部记载各种礼仪制度的文集，但其中也包含着一定的数学知识。
南北朝的甄鸾在《数术记遗》一书中就写过：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央。”
杨辉发现书中内容正与上午他和孩童摆的数字一样，于是询问先生是否可知道这个九宫图是如何造出来的？但教书先生也不知出处。
杨辉回到家中，反复琢磨，一有空闲就在桌上摆弄着这些数字，终于发现了九宫图的规律。按照类似的规律，杨辉后来又得到了“五五图”、“六六图”、“衍数图”、“易数图”、“九九图”、“百子图”等许多类似的图。
杨辉把这些图总称为纵横图，并于1275年写进自己的数学著作《续古摘奇算法》一书中，并流传后世。
杨辉不仅是一位著述甚丰的数学家，同时还是一位杰出的数学教育家。他在详解《九章算术》的基础上，专门增加了一卷，将《九章》中的246个问题，按照解题方法的难易程度，重新分为九类。
他一生致力于数学教育和数学普及，其著述有很多是为了数学教育和普及而写。《算法通变本末》中载有杨辉专门为初学者制订的“习算纲目”，集中体现了杨辉的数学教育思想和方法。杨辉的几部著作极大地丰富了我国古代数学宝库，为数学科学的发展做出了卓越的贡献，不愧为“宋元四大家”之一。
03、
相比杨辉对数学研究的持之以恒，秦九韶的学术生涯就比较短暂了。
他出生在四川，青少年时期饱受战争之苦，成年后离开四川，考中进士，在湖北、安徽、江苏、福建等地做官。晚年受贾似道打击，贬于梅州，五年后死于梅州，时年61岁。
37岁时，秦九韶的母亲去世，他离任返回湖州，为母亲守孝三年，在这段时间里，他刻苦研究数学，写出了全面超越《九章算术》的传世之作——《数书九章》。
《数书九章》与《九章算术》一样，密切联系社会实际，但《数书九章》中的问题的深度和广度远远超过了《九章算术》，书中的不少数学成果都是世界领先的，其中最重要的两项成果是“正负开方术”和“大衍术”。
正负开方术，又称“秦九韶算法”，实际上是一套求高次方程整根的方法。
古时候，人们将解方程称为“开方”。我们都知道，一次和二次方程是好解的，三次方程就比较难了，解三次以上的方程更是难上加难。秦九韶却在前人基础上，总结出一套十分精确的可以解任意次方程的方法，只不过在这一过程中，要反复进行正、负数运算，所以称为“正负开方术”。
大衍术又称大衍法，实际上是一套求解一次同余式方程组的完整程序。
什么叫同余呢？举个例子，9除以5余4，14除以5也余4，我们就认为9和14对5来说是同余的。含有同余关系的式子叫同余式，同余式和方程式一样，可以分为一次、二次、三次等等，几个同余式联立，就成为同余式组。
中国古代重要的数学著作《孙子算经》中有一道闻名世界的“物不知数”题，题目大意是：某数被3除余2，被5除余3，被7除余2，问这个数是多少？
这其实是由三个一次同余式构成的同余式组，答案是23，但书中求出答案的方法含有试猜的成分，不是普遍适用的。
秦九韶的功绩，就在于他研究了各种形式的一次同余式组，发明了一套普遍适用的完整程序，可以求出此类问题的准确答案。
“大衍求一术”是中世纪世界数学的成就之一，比西方1801年著名数学家高斯建立的同余理论早554年，被西方称为“中国剩余定理”。
纵观秦九韶一生，他可以称得上是一位学识渊博、多才多艺的学者，尤其在数学上，做出了卓越贡献。他研究数学不是为了做官，也不仅仅是出于兴趣，而是为了应用，为了解决老百姓在社会生活中遇到的实际问题。
他千万百计地使自己的学问为社会服务，所提出的大衍求一术、正负开方术及其名著《数书九章》，是中国数学史、乃至世界数学史上光彩夺目的一页，对后世数学发展产生了深刻而广泛的影响。
秦九韶的数学成就已得到世界公认，清代著名数学家陆心源称赞说：“秦九韶能于举世不谈算法之时，讲求绝学，不可谓非豪杰之士。”
美国的著名科学史家萨顿这样评价秦九韶：“他是他那个民族，他那个时代，并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一。”
参考资料：
百度词条“杨辉”
百度词条“秦九韶”
管成学、赵骥民，《中国数学史上最光辉的篇章：李冶、秦九韶、杨辉、朱世杰的故事》，吉林科学技术出版社
