学习有方法,解题讲技巧。
圆的证明与计算是中考难点和重点,在每次考试中,不少学生在这类题上失分较多。究其原因是缺少练习,下面分享几道经典例题,供大家学习和参考。
圆和四边形的综合题常作为压轴题考查,(1)利用已知易证△AFP∽△ABC,利用相似三角形的对应边成比例,可得到AC的长,再证明CF=CB,然后利用圆周角定理可证的结论。(2)利用相似三角形的性质,可证得CF=2PB,设AP=5m,则AF=4m,用含m的代数式表示出PB,CF的长,据此可建立关于m的方程,解方程求出m的值,即可得到AP,AF,CF的长,再利用相似三角形的对应边成比例,可求出CG的长,即可得到DG地长。
(3)①F与C重合时,⊙O与AC相切;②P与B重合时,⊙O与DC相切,可以发表求出AP的长;③⊙O与AD相切时,设切点为K,如图,设AP=x,分别用含x的代数式表示出PB,OK,PC的长,利用勾股定理建立关于x的方程,解方程求出x的值,即可得到AP的长。(4)分情况讨论:①当点P在线段AB上时,如图1,过点P作PM∥AC交BF于点M,设AP=5m,用含m的代数式表示出AF,CF,PB,PM的长,再由PM∶AF=PB:AB,可求出m的值,即可得到AP的长;②当点P在线段AB的延长线上时,如图2,过点C作CM∥AP交BF于点M,用含m的代数式表示出AF,CF,PB,PM的长,再由PM∶AF=PB:AB,可求出m的值,即可得到AP的长。
解这道题需要抓住图形的特殊性,(1)首先根据切线的性质得出 ,进而判定 ,利用平行的性质进行等角转换,即可得出 平分 ;(2)①根据题意由圆的性质和正方形的性质,求解即可;②当 四边形是菱形时,分两种情况求解:根据弧长公式求解即可。
对于切线的判定需要掌握其解题思路,(1)连接BD,由圆周角定理可知∠BDC=90°,即CD⊥BD,再由AB=AD可知 ,则OA⊥BD,由此即可得出结论;(2)设⊙O的半径为r,则PB=OB=OC=OA=r,再由OA∥CD可知,△OAP∽△CDP,故可得出 = ,故可用r表示出CD的长,再求出BC:DC的值即可;(3)由OF∥CD,OB=OC根据中位线定理可以求出OF,AF;再根据勾股定理在Rt△DBC中可以求出BD,DF;接着在Rt△ADF中求出AD;然后利用平行线的性质得∠FAD=∠CDE证明△AFD∽△DEC,利用相似三角形的对应边成比例可以求出DE。
证明切线:有点连圆心,证垂直;无点做垂线,证半径。(1)连接OD,由圆周角定理就可得∠ADB=90°和∠CDB=90°,又由E为BC的中点可以得出DE=BE,进一步得到∠EDO=∠EBO,由等式的性质就可以得出∠ODE=90°即可证明;(2)由S2=5S1 , 即△ADB的面积是△CDE面积的4倍,可得AD:CD=2:1,AD:BD=2,则可求tan∠BAC;(3)由(2)的关系即可知AD:BD=2,在Rt△AEB中,运用勾股定理解答即可.
圆的有关计算与证明所设计的知识点:圆周角定理、圆的切线的判定定理、圆的切线的性质定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质与判定定理、直角三角形的性质与判定定理、菱形的性质与判定定理等。