典型例题分析1:
【问题发现】
如图1,△ACB和△DCE均为等边三角形,若B,D,E在同一直线上,连接AE.
(1)请你在图中找出一个与△AEC全等的三角形: ;
(2)∠AEB的度数为 ;CE,AE,BE的数量关系为 .
【拓展探究】
如图2,△ACB是等腰直角三角形,∠AEB=90°,连接CE,过点C作CD⊥CE,交BE于点D,试探究CE,AE,BE的数量关系,并说明理由.
【解决问题】
如图3,在正方形ABCD中,CD=5√2,点P为正方形ABCD外一点,∠APC=90°,且AP=6,试求点P到CD的距离.
考点分析:
四边形综合题.
题干分析:
【问题发现】(1)根据等边三角形的性质、全等三角形的判定定理证明△AEC≌△BDC;
(2)根据△AEC≌△BDC,得到∠AEC=∠CDB=120°,计算即可;
【拓展探究】证明△AEC≌△BDC,得到△ECD是等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质计算;
【解决问题】分点P在AD上方、点P在AB的左侧两种情况,根据相似三角形的性质计算.
典型例题分析2:
在ABCD中,点B关于AD的对称点为B′,连接AB′,CB′,CB′交AD于F点.
(1)如图1,∠ABC=90°,求证:F为CB′的中点;
(2)小宇通过观察、实验、提出猜想:如图2,在点B绕点A旋转的过程中,点F始终为CB′的中点.小宇把这个猜想与同学们进行交流,通过讨论,形成了证明该猜想的几种想法:
想法1:过点B′作B′G∥CD交AD于G点,只需证三角形全等;
想法2:连接BB′交AD于H点,只需证H为BB′的中点;
想法3:连接BB′,BF,只需证∠B′BC=90°.
…
请你参考上面的想法,证明F为CB′的中点.(一种方法即可)
(3)如图3,当∠ABC=135°时,AB′,CD的延长线相交于点E,求CE/AF的值.
考点分析:
相似形综合题.
题干分析:
(1)证明:根据已知条件得到□ABCD为矩形,AB=CD,根据矩形的性质得到∠D=∠BAD=90°,根据全等三角形的性质即可得到结论;
(2)方法1:如图2,过点B′作B′G∥CD交AD于点G,由轴对称的性质得到∠1=∠2,AB=AB′,根据平行线的性质得到∠2=∠3,∠1=∠3,根据平行线的性质得到∠4=∠D,根据全等三角形的性质即可得到结论;方法2:连接BB′交直线AD于H点,根据线段垂直平分线的性质得到B′H=HB,由平行线分线段成比例定理得到结论;方法3:连接BB′,BF,根据轴对称的性质得到AD是线段B′B的垂直平分线,根据线段垂直平分线的性质得到B′F=FB,得到∠1=∠2,由平行线的性质得到∠B′BC=90°,根据余角的性质得到∠3=∠4,于是得到结论;
(3)取B′E的中点G,连结GF,由(2)得,F为CB′的中点,根据平行线的性质得到∠BAD=180°﹣∠ABC=45°,由对称性的性质得到∠EAD=∠BAD=45°,根据平行线的性质得到∠GFA=∠FAB=45°,根据三角函数的定义即可得到结论.