基本理论
$\bf(引理1)$设$T$为$\bf{Banach}$空间$X$到$\bf{Banach}$空间$Y$的有界线性算子，且$TX=Y$，则对任意的$a > 0$，存在$\delta > 0$，使得$$TB\left( {0,a} \right)在O\left( {0,a\delta } \right)中稠密$$
方法一
$\bf(引理2)$设$T$为$\bf{Banach}$空间$X$到$\bf{Banach}$空间$Y$的有界线性算子，且$TX=Y$，则对任意的$a > 0$，存在$\varepsilon > 0$，使得$$TB\left( {0,a} \right) \supset O\left( {0,a\varepsilon } \right)$$
方法一
$\bf(开映射定理)$设$T$为$\bf{Banach}$空间$X$到$\bf{Banach}$空间$Y$的有界线性算子，且$TX=Y$，则$T$为开映射，即$T$将$X$的开集映射成$Y$的开集
方法一
$\bf(逆算子定理)$设$T$为$\bf{Banach}$空间$X$到$\bf{Banach}$空间$Y$的有界线性算子，且$T$为双射，则逆算子${T^{ - 1}}$为有界算子
方法一
$\bf(等价范数定理)$设线性空间$X$上有两个范数${\left\| \cdot \right\|_1}$和${\left\| \cdot \right\|_2}$，若$X$关于它们都构成$\bf{Banach}$空间，且${\left\| \cdot \right\|_2}$比${\left\| \cdot \right\|_1}$强，则${\left\| \cdot \right\|_2}$与${\left\| \cdot \right\|_1}$等价
方法一
$\bf(闭图像定理)$设$X,Y$均为$\bf{Banach}$空间，且$T$是$D\left( T \right) \subset X$到$Y$的闭线性算子，$D\left( T \right)$是$X$中的闭线性子空间，则$T$是连续的
方法一 方法二
$\bf(共鸣定理)$设$X,Y$均为$\bf{Banach}$空间，$W \subset B\left( {X,Y} \right)$，若\[\mathop {Sup}\limits_{T \in W} \left\| {Tx} \right\| < \infty ,\forall x \in X\]则存在$c > 0$，使得对任意$T \in W$，有$\left\| T \right\| \le c$
方法一 方法二
$\bf(Banach-Steinhaus定理)$设$X,Y$均为$\bf{Banach}$空间，$M$是$X$的稠密子集，且${T_n},T \in B\left( {X,Y} \right)\left( {n = 1,2, \cdots } \right)$，
则${T_n}$强收敛于$T$的充要条件是
$(1)$$\left\| {{T_n}} \right\|$有界
$(2)$$\lim \limits_{n \to \infty } {T_n}x = Tx,\forall x \in M$
方法一
$\bf(Hahn-Banach泛函延拓定理)$设$X$为实线性空间，$p(x)$为$X$上的次线性泛函.若$f$为$X$的子空间$X_0$上的实线性泛函，且\[f\left( x \right) \le p\left( x \right),\forall x \in {X_0}\]则存在$X$上的实线性泛函${\tilde f}$，使得当$x \in {X_0}$时，有$\tilde f\left( x \right) = f\left( x \right)$，且\[\tilde f\left( x \right) \le p\left( x \right),\forall x \in X\]
方法一
应用
$\bf(Gelfand引理)$设$X$为$\bf{Banach}$空间，$p(x)$为$X$上的泛函，它满足下面条件：
(1)$p\left( x \right) \ge 0,\forall x \in X$
(2)$p\left( {\lambda x} \right) = \lambda p\left( x \right),\forall \lambda > 0,x \in X$
(3)$p\left( {x + y} \right) \le p\left( x \right) + p\left( y \right),\forall x,y \in X$
(4)当${x_n} \to x$时，$\mathop {\underline {\lim } }\limits_{n \to \infty } p\left( {{x_n}} \right) \ge p\left( x \right),\forall x,{x_n} \in X$
则存在$M>0$，使得$p\left( x \right) \le M\left\| x \right\|,\forall x \in X$
方法一 方法二
$\bf(保1延拓定理)$设$X$为赋范线性空间，$Z$是$X$的线性子空间，${x_0} \in X$，若$d\left( {{x_0},Z} \right) > 0$，则存在$X$上的连续线性泛函$f$满足条件
(1)$f\left( x \right) = 0, x \in Z$
(2)$f\left( {{x_0}} \right) = d\left( {{x_0},Z} \right)$
(3)$\left\| f \right\| = 1$
方法一 方法二
$\bf(矩量定理)$设$X$为赋范线性空间，${x_1},{x_2},\cdots,{x_k}$为$X$中$k$个线性无关向量，且${\alpha _1},{\alpha _2}, \cdots ,{\alpha _k}$是一组数，则在$X$上存在满足下列条件:
(1)$f\left( {{x_\upsilon }} \right) = {\alpha _\upsilon },\upsilon = 1,2, \cdots ,k$
(2)$\left\| f \right\| \le M$
的连续线性泛函$f$的充要条件为：对任意数${t_1},{t_2}, \cdots ,{t_k}$，有\[\left| {\sum\limits_{\upsilon = 1}^k {{t_\upsilon }{\alpha _\upsilon }} } \right| \le M\left\| {\sum\limits_{\upsilon = 1}^k {{t_\upsilon }{x_\upsilon }} } \right\|\]
方法一
$\bf(命题)$设$C\left[ {0,1} \right]$按范数${\left\| \cdot \right\|_1}$成为巴拿赫空间，且对任意$t \in \left[ {0,1} \right]$，当${\left\| {{x_n} - x} \right\|_1} \to 0$时，有$$\left| {{x_n}\left( t \right) - x\left( t \right)} \right| \to 0$$证明：${\left\| \cdot \right\|_1}$必与范数$\left\| x \right\| = \max \left| {x\left( t \right)} \right|$等价
方法一
$\bf(命题)$设$T$是$\bf{Banach}$空间$X$到赋范线性空间$Y$上的线性算子，令\[{M_n} = \left\{ {x|\left\| {Tx} \right\| \le n\left\| x \right\|} \right\},n = 1,2, \cdots \]证明：总有${M_{{n_0}}}$在$X$中稠密
方法一 方法二
$\bf(命题)$
