多角度思考 提高思维素质
福建厦门市杏林中学 王征祥
人教版九年义务三年制初中几何第三册第102页第3题，是值得深入探究的一道题，可以从多种不同角度去思考，涉及到较宽的知识面，还可活跃思维，提高思维品质，特介绍如下．
题如图1，bc为半圆o的直径，ad⊥bc于d，＝，bf和ad交于e．
求证：ae＝be．
证法1连ab、ac，
∵ bc为直径，
∴ ∠bac＝90°，
又 ∵ ad⊥bc，
∴ ∠bad＝∠c，
又 ∵＝，
∴ ∠abf＝∠c＝∠bad，
ae＝be．
证法2图1中，ac交bf于g，由证法1有
又 ∴ ∠bag＝90°，
∴ ∠agb＋∠abg＝∠dac＋∠bad＝90°，
∴ ∠bae＝∠abe， ae＝be．
证法3如图2，连oa交bf于h，
∵＝，
∴ oa⊥bf，可得rt△aod≌rt△boh，
∴ oh＝od，ah＝bd，
进而可证 △bde≌△ahe，
∴ ae＝be．
证法4图2中再连ab，oe并延长与ab相交，be⊥oa，ad⊥ob，且oa＝ob，则oe为ab的中垂线，于是ae＝be．
证法5由证法4得oe⊥ab(图3)，又ac⊥ab，
∴ oe∥ac，
∵ o为bc中点，
∴ e为bg中点，∠bag＝90°，
∴ ae＝be．
证法6如图4，连结ab，af，ac，fc，易证ab2＝bd·bc，又∠edb＝∠bfc，由四点共圆或两三角形相似可得
bd·bc＝be· bf，
∴ ab2＝be·bf，
从而 △abe∽△fba，
∴ ∠bae＝∠afb．
∵＝，
∴ ∠abf＝∠afb＝∠bae，ae＝be．
证法7如图5，作另一半圆o，延长ad交圆o于k，连ab，由垂径定理得
＝＝，
∴ ∠eab＝∠abe，
ae＝be．
证法8如图5，连oa交bf于h，
∵
∴ ak＝bf，
又 od⊥ak，oh⊥bf，
∴ oh＝od ，ah＝bd，
以下与证法3同，可得
ae＝be．
证法9如图6，作圆o，延长ad交圆o于k，由证法8得
＝，
∴ bk＝af，
∠bek＝∠aef，
∠bke＝∠afe，
∴ △bke≌△afe，
ae＝be．
证法10如图7，连ab，fk，
由证法9知＝，
∵ ak＝bf，
∴ ae＝be．
证法11如图8，连结ab，af，bk，fk，由证法9，10知四边形abkf是等腰梯形，有
∠bak＝∠abf，
∴ ae＝be．
证法12作圆o，连ab、ac，延长ad交圆o于k，由垂径定理及推论知＝，
又∠bag＝90°，
∴ 由证法2可得ae＝be．
