多角度思考 提高思维素质
福建厦门市杏林中学 王征祥
人教版九年义务三年制初中几何第三册第102页第3题,是值得深入探究的一道题,可以从多种不同角度去思考,涉及到较宽的知识面,还可活跃思维,提高思维品质,特介绍如下.
题如图1,bc为半圆o的直径,ad⊥bc于d,=,bf和ad交于e.
求证:ae=be.
证法1连ab、ac,
∵ bc为直径,
∴ ∠bac=90°,
又 ∵ ad⊥bc,
∴ ∠bad=∠c,
又 ∵=,
∴ ∠abf=∠c=∠bad,
ae=be.
证法2图1中,ac交bf于g,由证法1有
又 ∴ ∠bag=90°,
∴ ∠agb+∠abg=∠dac+∠bad=90°,
∴ ∠bae=∠abe, ae=be.
证法3如图2,连oa交bf于h,
∵=,
∴ oa⊥bf,可得rt△aod≌rt△boh,
∴ oh=od,ah=bd,
进而可证 △bde≌△ahe,
∴ ae=be.
证法4图2中再连ab,oe并延长与ab相交,be⊥oa,ad⊥ob,且oa=ob,则oe为ab的中垂线,于是ae=be.
证法5由证法4得oe⊥ab(图3),又ac⊥ab,
∴ oe∥ac,
∵ o为bc中点,
∴ e为bg中点,∠bag=90°,
∴ ae=be.
证法6如图4,连结ab,af,ac,fc,易证ab2=bd·bc,又∠edb=∠bfc,由四点共圆或两三角形相似可得
bd·bc=be· bf,
∴ ab2=be·bf,
从而 △abe∽△fba,
∴ ∠bae=∠afb.
∵=,
∴ ∠abf=∠afb=∠bae,ae=be.
证法7如图5,作另一半圆o,延长ad交圆o于k,连ab,由垂径定理得
==,
∴ ∠eab=∠abe,
ae=be.
证法8如图5,连oa交bf于h,
∵
∴ ak=bf,
又 od⊥ak,oh⊥bf,
∴ oh=od ,ah=bd,
以下与证法3同,可得
ae=be.
证法9如图6,作圆o,延长ad交圆o于k,由证法8得
=,
∴ bk=af,
∠bek=∠aef,
∠bke=∠afe,
∴ △bke≌△afe,
ae=be.
证法10如图7,连ab,fk,
由证法9知=,
∵ ak=bf,
∴ ae=be.
证法11如图8,连结ab,af,bk,fk,由证法9,10知四边形abkf是等腰梯形,有
∠bak=∠abf,
∴ ae=be.
证法12作圆o,连ab、ac,延长ad交圆o于k,由垂径定理及推论知=,
又∠bag=90°,
∴ 由证法2可得ae=be.
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