问题补充:
已知直线l:mx-y+1-m=0与圆C:x2+(y-1)2=5交于A、B两点;
(Ⅰ)若,求直线l的倾斜角;
(Ⅱ)求弦AB的中点M的轨迹方程;
(Ⅲ)圆C上是否存在一点P使得△ABP为等边三角形?若存在,求出P点坐标;不存在,请说明理由.
答案:
解:(Ⅰ)圆心C(0,1)到直线的距离,
所以,解得,
所以,倾角;…(4分)
(Ⅱ)直线l过定点N(1,1),设动点M(x,y),则,
所以(x,y-1)?(x-1,y-1)=0,化简得;…(9分)
(Ⅲ)不存在.假设存在符合条件的P点,则由△ABP是等边三角形知,
其外接圆与内切圆的圆心均C(0,1),外接圆半径,
内切圆半径r等于圆心(0,1)到直线AB的距离,
又由等边三角形的性质得,所以有,,m无解,故不存在这样的点P.…(13分)
解析分析:(Ⅰ)直接利用,圆心到直线的距离,半径满足勾股定理,求出m的值,即可求直线l的倾斜角;(Ⅱ)设出动点坐标,利用垂直关系,数量积为0,直接求弦AB的中点M的轨迹方程;(Ⅲ)通过由△ABP是等边三角形,其外接圆与内切圆的圆心相同,通过外接圆半径,内切圆半径r等于圆心到直线AB的距离,推出,方程无解,则不存在否则存在.
点评:本题考查轨迹方程分求法,点到直线的距离公式的应用,直线的倾斜角的求法,考查计算能力,转化思想.
已知直线l:mx-y+1-m=0与圆C:x2+(y-1)2=5交于A B两点;(Ⅰ)若 求直线l的倾斜角;(Ⅱ)求弦AB的中点M的轨迹方程;(Ⅲ)圆C上是否存在一点P