问题补充:
等腰△ABC中,a、b、c为三角形的三边长,已知a=3,b、c是方程x2+mx+2-m=0的两个实数根,求△ABC的周长.
答案:
解:(1)若a为底边,则b=c,且均为一元二次方程的实数根,故一元二次方程x2+mx+2-m=0有两个相等的实数根.
由b2-4ac=m2-4(2-m)=0???得:m1=2,m2=-4
即b=c=2或b=c=-4(不合,舍去)???a=3,b=c=2能构成三角形.
∴△ABC的周长2+2+3=7.
(2)若a为腰,则b、c中必有一边与a相同
不妨设b=a=3,则3是方程x2+mx+2-m=0的一根,
∴9+3m+2-m=0∴m=-∴原方程为x2-x+=0,
∴x1=3,x2=∴C=∵3+3>∴能构成三角形,
∴△ABC的周长为3+3+==;
解析分析:等腰三角形ABC中a可能是底边,也可能是腰,应分两种情况进行讨论.①当a是腰时,则方程有一个根是3,代入即可求得m的值,从而求解;②当a是底边时,方程有两个相等的实根,根据一元二次方程根的情况与判别式△的关系,从而求得其周长.
点评:本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系,一元二次方程根与系数的关系,等腰三角形的性质及三角形的三边关系定理.难度中等.根据等腰三角形的性质,将a边进行分类是解题的关键.