已知函数f（x）=sinx-cosx x∈R．（1）求函数f（x）在[0 2π]内的单调递增区间；（2

问题补充：

已知函数f（x）=sinx-cosx，x∈R．

（1）求函数f（x）在[0，2π]内的单调递增区间；

（2）若函数f（x）在x=x0处取到最大值，求f（x0）+f（2x0）+f（3x0）的值；

（3）若g（x）=ex（x∈r），求证：方程f（x）=g（x）在[0，+∞）内没有实数解．

（参考数据：ln2≈0.69，π≈3.14）

答案：

解：（1）f（x）=sinx-cosx=，

令

则，（2分）

由于X∈[0，2π]，则f（x）在[0，2π]内的单调递增区间为；

（2）依题意，，（6分）

由周期性，f（x0）+f（2x0）+f（3x0）

=；（8分）

（3）函数g（x）=ex（x∈R）为单调增函数，

且当时，f（x）≤0，g（x）=ex＞0，此时有f（x）＜g（x）；（10分）

当时，由于≈0.785，而≈0.345，

则有，即，

又Qg（x）为增函数，∴当时，（12分）

而函数f（x）的最大值为，即，

则当时，恒有f（x）＜g（x），

综上，在[0，+∞）恒有f（x）＜g（x），

即方程f（x）=g（x在[0，+∞）内没有实数解．（14分）

解析分析：（1）在f（x）中提出凑出两角和的正弦公式，利用两角差的正弦公式化简f（x）；令整体角在正弦的递增区间上，求出x的范围即为递增区间．（2）通过整体角处理的方法，令整体角等于求出角x0，代入求出f（x0）+f（2x0）+f（3x0）的值．（3）通过分段讨论求出两个函数的最值，判断出两个函数的交点情况，得到方程解的情况．

点评：本题考查两个角的和差的正弦公式、考查整体角处理的思想方法、考查方程解的情况转化为函数交点的情况．

已知函数f（x）=sinx-cosx x∈R．（1）求函数f（x）在[0 2π]内的单调递增区间；（2）若函数f（x）在x=x0处取到最大值 求f（x0）+f（2x0