问题补充:
如图,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠DCB=90°,BC=2AD,对角线AC与BD相交于点P,且AC⊥BD,过点P作PE∥BC交AB于点E.
(1)已知△APD的面积为1,求△BPC的面积.
(2)求证:BE2=BP?DP.
答案:
解:(1)∵AD∥BC,
∴∠ADP=∠CBP,∠DAP=∠BCP,
∴△ADP∽△CBP,
∴BC=2AD,,,
∴S△CPB=4S△APD=4×1=4;
(2)过A作AM⊥BC,垂足为M,
∵AD∥BC,∠DCB=90°,
∴四边形AMCD是矩形,
∵BC=2AD
∴AD=MC=BM,
∴AM是线段BC的垂直平分线,
∴AB=AC,
又EP∥BC,
∴∠AEP=∠ABC=∠ACB=∠APE,
∴AE=AP,
∴EB=PC,
又AC⊥BD,∠BPC=CPD=90°,
∠DCB=90°,
∴∠BCP=∠PDC,△BCP∽△CPD,,
∴PC2=BP?DP,
∴BE2=BP?DP.
解析分析:(1)由AD∥BC,即可得△ADP∽△CBP,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方,即可求得△BPC的面积;(2)首先过A作AM⊥BC,垂足为M,即可证得四边形AMCD是矩形,易证得AM是线段BC的垂直平分线,然后有两角对应相等的三角形相似,证得△BCP∽△CPD,又由相似三角形的对应边成比例,即可证得BE2=BP?DP.
点评:此题考查了相似三角形的判定与性质,矩形的判定与性质等知识.此题综合性较强,难度适中,解题的关键是注意数形结合思想的应用.
如图 直角梯形ABCD中 AD∥BC ∠DCB=90° BC=2AD 对角线AC与BD相交于点P 且AC⊥BD 过点P作PE∥BC交AB于点E.(1)已知△APD的面