问题补充:
如图,AB为⊙O的直径,BC切⊙O于点B,AC交⊙O于点D,E为BC中点.
(1)求证:DE为⊙O的切线;
(2)延长ED交BA的延长线于F,若DF=4,AF=2,求BC的长.
答案:
解(1)如图,连接DB,OD,
∵OD=OB
∴∠1=∠3.
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°=∠EDB,
∵E为BC中点,
∴DE=BE,
∴∠2=∠4.
∵BC切⊙O于点B,
∴∠ABC=90°=∠3+∠4,
∴∠1+∠2=90°,
∴OD⊥DE,
∵OD为⊙O半径,
∴DE为⊙O的切线;
(2)∵OD⊥DE,
∴∠FDO=90°,
设OA=OD=r.
∵OF2=FD2+OD2,DF=4,AF=2,
∴(r+2)2=42+r2,
解得r=3,
∴OA=OD=3,FB=8,
∵∠F=∠F,∠FDO=∠FBE=90°,
∴△FDO∽△FBE,
∴,
∴BE=6,
∵E为BC中点,
∴BC=2BE=12.
解析分析:(1)连接OD和DB,根据直角三角形斜边上中线性质得出DE=BE,推出∠2=∠4,根据等腰三角形性质得出∠1=∠3,根据∠3+∠4=∠1+∠2=∠ABC=90°,根据切线的判定推出即可;
(2)在Rt△FDO中,根据勾股定理求出半径,证△FDO∽△FBE,得出比例式求出BE,即可求出BC.
点评:本题考查了相似三角形的性质和判定,直角三角形斜边上中线性质,勾股定理,切线的判定,等腰三角形的性质等知识点的综合运用.
如图 AB为⊙O的直径 BC切⊙O于点B AC交⊙O于点D E为BC中点.(1)求证:DE为⊙O的切线;(2)延长ED交BA的延长线于F 若DF=4 AF=2 求BC