问题补充:
直线y=-x+b与双曲线y=相交于点D(-4,1)、C(1,m),并分别与坐标轴交于A、B两点,过点C作直线MN⊥x轴于F点,连接BF.
(1)求直线和双曲线的解析式;
(2)作出△ABF的外接圆,并求出圆心I的坐标;
(3)在(2)中⊙I与直线MN的另一交点为E,判断点D、I、E是否共线?说明理由.
答案:
解:(1)∵直线y=-x+b与双曲线y=相交于点D(-4,1),
∴1=4+b,解得b=-3;1=,解得k=-4,
∴直线解析式为y=-x-3;双曲线解析式为y=-;
(2)作△ABF的外接圆(如图所示)
分别作出线段AF、AB的垂直平分线l1,l2,l1,l2,的交点即为圆心I,以I为圆心,IA为半径作圆即为△ABF的外接圆;
∵直线解析式为y=-x-3;双曲线解析式为y=-,
∴,解得或,
∵D(-4,1),
∴C(1,-4),
∵直线MN⊥x轴于F点,
∴F(1,0),
∴直线l1的解析式为x=-1;
∵直线解析式为y=-x-3,
∵A(-3,0),B(0,-3),
∴直线l2的解析式为y=x,
∴,解得,
∴圆心I(-1,-1);
(3)点D、I、E不共线.
∵A(-3,0),I(-1,-1),
∴AI==,
∴⊙O的方程为(x+1)2+(y+1)2=5,
∵直线MN的解析式为x=1,
∴直线MN与⊙I的交点为(1,0)或(1,-2),
∴E(1,-2),
设过点D、I直线的解析式为y=kx+b(k≠0),
∵D(-3,0),I(-1,-1),
∴,解得,
∴过D、I的直线解析式y=-x-
∵当x=1时,y=-×1-=-≠-2,
∴点D、I、,E不共线.
解析分析:(1)直接把点D(-4,1)代入直线y=-x+b与双曲线y=即可得出结论;
(2)分别作出线段AF、AB的垂直平分线,其垂直平分线的交点即为圆心I,以I为圆心,IA为半径作圆;联立直线与双曲线的解析式即可得出C点坐标,故可得出F点的坐标,再由直线的解析式即可得出AB两点的坐标,故可得出线段AF及AB垂直平分线的解析式,由此可得出圆心I的坐标;
(3)先根据两点间的距离公式求出AI的长,由I(-1,-1)可得出⊙I的方程,把x=1代入可求出E点坐标,再用待定系数法求出直线DI的解析式,把x=1代入进行检验即可.
点评:本题考查的是反比例函数综合题,涉及到用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式、直线与圆的交点问题等相关知识,难度适中.
直线y=-x+b与双曲线y=相交于点D(-4 1) C(1 m) 并分别与坐标轴交于A B两点 过点C作直线MN⊥x轴于F点 连接BF.(1)求直线和双曲线的解析式;